팻 칸토어 집합

가운데를 덜 파내면 어떻게 될까요 — 매 단계에서 길이 4−n4^{-n}만 제거하면 남는 집합은 컴팩트하고 nowhere dense이며 perfect인데도 전체 길이가 12\frac12로 수렴합니다. 측도와 위상적 크기는 독립적입니다.

∑n≥12n−14−n=12\sum_{n\ge 1} 2^{n-1} 4^{-n} = \frac12
m(C)=12,int C=∅m(C) = \frac12,\quad \mathrm{int}\,C = \varnothing

이 씬이 포함된 학습 경로

예제

nn단계에서 남은 2n−12^{n-1}개 닫힌구간 각각에서 가운데 열린구간을 절대 길이 4−n4^{-n}만큼 제거하는 fat Cantor 집합을 생각하세요. 전체 단계에 걸쳐 제거된 총길이가 12\tfrac12임을 기하급수로 증명하고, NN단계 뒤 남은 길이가 1+2−N2\dfrac{1 + 2^{-N}}{2}임을 확인하세요.

∑n=1∞2n−1⋅4−n=∑n=1∞2−n−1=1/41−1/2=12\sum_{n=1}^{\infty} 2^{n-1} \cdot 4^{-n} = \sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n-1} = \frac{1/4}{1 - 1/2} = \frac12
1−∑n=1N2−n−1=1−12(1−2−N)=12(1+2−N)  →N→∞  121 - \sum_{n=1}^{N} 2^{-n-1} = 1 - \tfrac12(1 - 2^{-N}) = \tfrac12(1 + 2^{-N}) \;\xrightarrow[N\to\infty]{}\; \tfrac12
n=4n = 4단계: 구간 16개, 남은 길이 1732=0.53125→12\tfrac{17}{32} = 0.53125 \to \tfrac12 — 표준 칸토어는 16개 구간에 (23)4=1681≈0.197531→0\left(\tfrac23\right)^4 = \tfrac{16}{81} \approx 0.197531 \to 0.
증명 보기
  1. nn단계에서는 n−1n-1단계에서 살아남은 닫힌구간이 2n−12^{n-1}개 있고, 각 구간에서 길이 4−n4^{-n}인 가운데 열린구간을 정확히 하나씩 제거합니다. 서로 다른 단계·서로 다른 구간에서 제거된 열린구간들은 모두 서로소입니다 (닫힌구간 안쪽에서 파낸 것이고, 단계가 진행될수록 남은 집합이 중첩되므로). 따라서 NN단계까지 제거된 총길이는 단계별 기여의 합입니다.
  2. nn단계의 기여는 2n−1⋅4−n2^{n-1} \cdot 4^{-n}입니다. 지수를 정리하면 2n−14n=2n−122n=2−n−1\dfrac{2^{n-1}}{4^n} = \dfrac{2^{n-1}}{2^{2n}} = 2^{-n-1}이므로, 제거된 총길이는 공비 12\tfrac12인 기하급수 ∑n=1∞2−n−1\sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n-1}입니다. 첫 항이 14\tfrac14이므로 합은 1/41−1/2=12\dfrac{1/4}{1 - 1/2} = \tfrac12입니다.
  3. 유한 단계 버전: NN단계까지 제거된 총길이는 부분합 ∑n=1N2−n−1=14⋅1−2−N1−1/2=12(1−2−N)\sum_{n=1}^{N} 2^{-n-1} = \tfrac14 \cdot \dfrac{1 - 2^{-N}}{1 - 1/2} = \tfrac12(1 - 2^{-N})입니다. [0,1][0,1]에서 시작했으므로 NN단계 뒤 남은 길이는 1−12(1−2−N)=12(1+2−N)1 - \tfrac12(1 - 2^{-N}) = \tfrac12(1 + 2^{-N})이고, N→∞N \to \infty에서 12\tfrac12로 수렴합니다. N=1N = 1이면 1−14=34=12(1+12)1 - \tfrac14 = \tfrac34 = \tfrac12(1 + \tfrac12) — 구간 [0,38][0, \tfrac38]과 [58,1][\tfrac58, 1]이 남고 가운데 (38,58)(\tfrac38, \tfrac58)이 파인 것과 일치합니다.
  4. 따라서 제거된 열린구간들의 서로소 합집합 GG의 Lebesgue 측도는 m(G)=12m(G) = \tfrac12이고, C=[0,1]∖GC = [0,1] \setminus G이므로 m(C)=1−12=12>0m(C) = 1 - \tfrac12 = \tfrac12 > 0입니다. 표준 칸토어 집합(nn단계에서 각 구간의 가운데 1/31/3 제거, 남은 길이 (2/3)n→0(2/3)^n \to 0)과의 차이가 여기서 갈립니다.

fat Cantor 집합 CC를 F0=[0,1]F_0 = [0,1], FnF_n은 Fn−1F_{n-1}의 각 닫힌구간에서 가운데 열린구간(길이 4−n4^{-n})을 제거한 것, C=⋂n≥0FnC = \bigcap_{n \ge 0} F_n으로 정의하세요. CC가 compact이고, nowhere dense이며, perfect함을 증명하세요 (내부는 비어 있지만, m(C)=12m(C) = \tfrac12임에 유의).

ℓn=ℓn−1−4−n2<2−n\ell_n = \frac{\ell_{n-1} - 4^{-n}}{2} < 2^{-n}
C=⋂n≥0Fn closed⊂[0,1] compactC = \bigcap_{n\ge 0} F_n\ \text{closed} \subset [0,1]\ \text{compact}
int⁡(C)=∅ (every open interval meets a removed piece)\operatorname{int}(C) = \varnothing\ \text{(every open interval meets a removed piece)}
x∈C⇒x=lim⁡zn, zn∈C∖{x}x \in C \Rightarrow x = \lim z_n,\ z_n \in C \setminus \{x\}
n=4n = 4단계: 구간 16개에 남은 길이 0.531250.53125 — 16개의 얇은 조각이지만 위상적으로는 "속이 텅 빈" 집합입니다 (아래 증명: 모든 열린구간이 제거된 조각과 만납니다).
증명 보기
  1. Compact: 각 FnF_n은 닫힌구간들의 유한 합집합이므로 닫힌집합이고, C=⋂nFnC = \bigcap_n F_n은 닫힌집합들의 교집합이므로 닫혀 있습니다. C⊂[0,1]C \subset [0,1]이 유계이므로 Heine–Borel 정리로 CC는 compact합니다.
  2. 길이 보조정리: 대칭성으로 nn단계의 모든 구간은 길이가 같습니다. 그 길이를 ℓn\ell_n이라 하면 ℓ0=1\ell_0 = 1, ℓn=(ℓn−1−4−n)/2\ell_n = (\ell_{n-1} - 4^{-n})/2이므로 ℓn<ℓn−1/2\ell_n < \ell_{n-1}/2입니다. 귀납법으로 ℓn<2−n\ell_n < 2^{-n}이며, 특히 ℓn→0\ell_n \to 0입니다.
  3. Nowhere dense: CC가 닫혀 있으므로 C‾\overline{C}의 내부가 비었음을 보이면 됩니다. 길이가 δ>0\delta > 0인 열린구간 II를 잡고, (0,1)(0,1) 안에 들어가도록 축소해도 됩니다 (그렇지 않으면 I⊄CI \not\subset C가 자명). 2−n<δ2^{-n} < \delta인 nn을 택하면 ℓn<δ\ell_n < \delta입니다. II가 어떤 제거된 열린구간과도 만나지 않는다고 가정하면, I⊂FnI \subset F_n이 됩니다. FnF_n은 서로소인 닫힌구간들의 합집합이고 II는 연결집합이므로, II는 그 중 정확히 하나의 구간 JJ 안에 통째로 들어갑니다. 그런데 δ=∣I∣≤∣J∣=ℓn<δ\delta = \lvert I \rvert \le \lvert J \rvert = \ell_n < \delta — 모순입니다.
  4. 따라서 II는 항상 제거된 열린구간과 만나고, 그 교집합은 I∖CI \setminus C의 비어 있지 않은 열린 부분집합입니다. 즉 어떤 비어 있지 않은 열린구간도 CC 안에 들어가지 않으므로 int⁡(C)=∅\operatorname{int}(C) = \varnothing — CC는 nowhere dense입니다.
  5. Perfect: x∈Cx \in C라 하자. 각 단계 nn에서 xx는 어떤 nn단계 구간 JnJ_n에 속합니다. n+1n+1단계에서 JnJ_n은 가운데 열린구간을 사이에 두고 두 개의 닫힌 자식구간 J′,J′′J', J''로 갈라지고, xx는 그 중 하나(예컨대 J′J')에 속합니다. 자식구간들의 중첩 사슬을 택하면 중첩구간 원리로 C∩J′′≠∅C \cap J'' \ne \varnothing이므로, 점 zn∈C∩J′′z_n \in C \cap J''를 고를 수 있습니다. 가운데 간격이 xx와 znz_n을 분리하므로 zn≠xz_n \ne x이고, ∣zn−x∣≤ℓn<2−n→0\lvert z_n - x \rvert \le \ell_n < 2^{-n} \to 0입니다. 따라서 xx는 CC의 극한점입니다. 모든 x∈Cx \in C에 대해 성립하므로 CC는 perfect합니다.

U=[0,1]∖CU = [0,1] \setminus C를 fat Cantor 집합의 여집합이라 하세요. UU가 (상대위상으로) 열려 있고 [0,1][0,1]에서 조밀하며 m(U)=12m(U) = \tfrac12임을 증명하세요. 그리고 다음 표를 완성하며 마무리하세요: "내부가 비었고 길이는 절반" — 측도와 위상적 크기는 독립적인 개념이다.

U=⋃stages(removed open intervals)U = \bigcup_{\text{stages}} \text{(removed open intervals)}
m(U)=12,m(C)=12m(U) = \tfrac12,\quad m(C) = \tfrac12
m=0m>0nowhere densestandard Cantorfat CantordenseQ∩[0,1]irrationals in [0,1]\begin{array}{c|cc} & m = 0 & m > 0 \\ \hline \text{nowhere dense} & \text{standard Cantor} & \textbf{fat Cantor} \\ \text{dense} & \mathbb{Q} \cap [0,1] & \text{irrationals in } [0,1] \end{array}
n=4n = 4단계: 제거된 열린구간들의 길이 합은 12(1−2−4)=0.46875\tfrac12(1 - 2^{-4}) = 0.46875, 남은 길이는 0.531250.53125 — 여집합은 이미 절반에 육박하고, 극한에서는 정확히 12\tfrac12가 됩니다.
증명 보기
  1. UU는 닫힌집합 CC의 여집합이므로 [0,1][0,1]의 상대위상에서 열려 있습니다. 구체적으로 UU는 모든 단계에서 제거된 열린구간들의 합집합 — 서로소인 열린구간들의 가산 합집합 — 입니다.
  2. Dense: 앞 문제에서 모든 비어 있지 않은 열린구간이 제거된 열린구간과 만난다는 것을 보였습니다. 즉 모든 열린구간은 UU의 점을 포함하므로, UU는 [0,1][0,1]에서 조밀합니다.
  3. 측도: 제거된 열린구간들은 서로소이므로 m(U)=∑n=1∞2n−14−n=12m(U) = \sum_{n=1}^{\infty} 2^{n-1} 4^{-n} = \tfrac12입니다 (첫 번째 문제의 기하급수). 따라서 m(C)=m([0,1])−m(U)=1−12=12m(C) = m([0,1]) - m(U) = 1 - \tfrac12 = \tfrac12입니다.
  4. 정리하면: CC는 닫혀 있고, 내부가 비어 있고(nowhere dense), perfect하며, 길이는 12\tfrac12입니다. 그 여집합 UU는 열려 있고, 조밀하며, 길이는 12\tfrac12입니다. 위의 표가 보여주듯 네 칸이 모두 찹니다 — 표준 칸토어 집합(nowhere dense, 측도 0), fat Cantor 집합(nowhere dense, 측도 12\tfrac12), [0,1][0,1]의 유리수들(조밀, 측도 0), 무리수들(조밀, 측도 1). 심지어 "열려 있고 조밀한데 측도가 임의로 작은" 집합도 있습니다 (유리수 qkq_k마다 반지름 ε/2k\varepsilon/2^k인 열린구간의 합집합: 측도 ≤2ε\le 2\varepsilon). 결론: "내부가 비었다"는 위상적 진술과 "길이가 얼마이다"는 측도적 진술은 서로에게 아무것도 강제하지 않습니다 — fat Cantor 집합은 그 독립성을 보여주는 가장 극적인 예입니다.

4. 위상