연습문제

이 장의 내용을 확인하는 연습문제이다. 풀이는 접어서 두었으니 먼저 스스로 풀어 보자.

보통

1보통

무리수 $x$ 가 리우빌 수(Liouville number)라는 것은 모든 $m \ge 1$ 에 대해 부등식 $|x - p/q| < 1/q^m$ 을 만족하는 정수쌍 $(p, q)$ ( $q \ge 2$ )가 무한히 많이 존재하는 것이다. $k \ge 1$ 에 대해 $U_k = \bigcup_{q \ge 2}\bigcup_{p \in \mathbb{Z}} (p/q - 1/q^k,\ p/q + 1/q^k)$ 이라 두자. (a) 각 $U_k$ 가 $\mathbb{R}$ 의 조밀한 열린 집합임을 보여라. (b) $G = \bigcap_{k \ge 1} U_k \cap \bigcap_{j \ge 1} (\mathbb{R} \setminus \{r_j\})$ (여기서 $\{r_j\}$ 는 유리수의 열거)가 $G_\delta$ 집합이고 그 모든 원소가 리우빌 수임을 보여라. (c) 베어 범주 정리로 리우빌 수들이 $\mathbb{R}$ 에 조밀하고 비가산임을 결론지어라.

U_k = \bigcup_{q \ge 2}\bigcup_{p \in \mathbb{Z}} \left(\frac{p}{q} - \frac{1}{q^k},\ \frac{p}{q} + \frac{1}{q^k}\right)

G = \bigcap_{k \ge 1} U_k \ \cap\ \bigcap_{j \ge 1} (\mathbb{R} \setminus \{r_j\})

베어 카테고리 정리

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(a) 각 $U_k$ 는 열린 구간들의 합집합이므로 열려 있다. 모든 유리수 $p/q$ 는 중심이 자기 자신인 구간에 속하므로 $\mathbb{Q} \subset U_k$ 이고, $\mathbb{Q}$ 가 조밀하므로 $U_k$ 도 조밀하다.
(b) $G$ 는 가산 개의 열린 집합들의 교집합이므로 $G_\delta$ 이다 (각 $\mathbb{R} \setminus \{r_j\}$ 도 열려 있다). $x \in G$ 라 하자. $x$ 는 무리수이고, 각 $k$ 마다 $|x - p_k/q_k| < 1/q_k^k$ 인 쌍 $(p_k, q_k)$ 이 존재한다. 서로 다른 쌍이 유한 개만 등장한다면, 어떤 쌍 $(p, q)$ 가 무한히 많은 $k$ 에 대해 반복되어 $|x - p/q| = 0$ , 즉 $x = p/q$ 가 되어 무리수임에 모순이다. 따라서 서로 다른 쌍이 무한히 많다. 고정된 $m$ 에 대해 $k \ge m$ 인 쌍들은 $|x - p_k/q_k| < 1/q_k^k \le 1/q_k^m$ 을 만족하므로, $x$ 는 리우빌 수의 정의를 만족한다.
(c) $G$ 는 조밀한 열린 집합들의 가산 교집합이므로 베어 범주 정리에 의해 $\mathbb{R}$ 에 조밀하다. 따라서 리우빌 수들도 조밀하다. 또한 $G$ 는 비가산이다: $G = \{x_n\}$ 이라 가정하면 $G \cap \bigcap_n (\mathbb{R} \setminus \{x_n\}) = \varnothing$ 인데, 이는 조밀한 열린 집합들의 가산 교집합이므로 베어 정리에 의해 조밀해야 하여 모순이다.

2보통

$T(x) = \frac{\cos x + 1}{4}$ ( $x \in [0, 1]$ )이라 하자. (a) $T$ 가 $[0, 1]$ 을 자기 자신으로 보내는 수축사상(contraction)임을 보여라 (수축 상수를 명시하라). (b) $T$ 가 유일한 고정점 $x^* \in [0, 1]$ 을 가짐을 결론지어라. (c) $x_0 = 0$ , $x_{n+1} = T(x_n)$ 이라 할 때, 오차 상한 $|x_n - x^*| \le \frac{q^n}{1-q}|x_1 - x_0|$ 을 이용해 $|x_n - x^*| < 10^{-3}$ 을 보장하는 가장 작은 $n$ 을 구하라.

|T(x) - T(y)| \le \frac{1}{4}|x - y|

|x_n - x^*| \le \frac{2}{3}\left(\frac{1}{4}\right)^n

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(a) $\cos$ 은 $[0, \pi]$ 에서 감소하고 $1 < \pi/3$ 이므로 $\cos 1 > \cos(\pi/3) = 1/2$ 이다. 따라서 $x \in [0,1]$ 일 때 $\cos x \in (\cos 1, 1] \subset (1/2, 1]$ 이고 $T(x) \in (3/8, 1/2] \subset [0, 1]$ 이다. 수축성은 평균값 정리로: $|\cos x - \cos y| \le |x - y|$ ( $|\sin| \le 1$ 이므로)이어서
$|T(x) - T(y)| = \frac{|\cos x - \cos y|}{4} \le \frac{1}{4}|x - y|,$
즉 $q = 1/4$ 인 수축사상이다. $[0, 1]$ 은 완비 거리공간이므로 바나흐 고정점 정리에 의해 $T$ 는 유일한 고정점 $x^* \in [0, 1]$ 을 갖는다. 이것이 (b)이다.
(c) $x_0 = 0$ 이면 $x_1 = T(0) = 1/2$ 이므로 $|x_1 - x_0| = 1/2$ 이다. 오차 상한에 $q = 1/4$ 를 대입하면 $|x_n - x^*| \le \frac{(1/4)^n}{3/4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{3}4^{-n}$ 이다. $\frac{2}{3}4^{-n} < 10^{-3}$ 은 $4^n > 2000/3 \approx 666.7$ 과 동치이고, $4^4 = 256 < 666.7 < 1024 = 4^5$ 이므로 가장 작은 $n$ 은 $5$ 이다. 실제로 $|x_5 - x^*| \le \frac{2}{3 \cdot 1024} = \frac{1}{1536} < 10^{-3}$ 이다.

3보통

$C$ 를 삼진법 소수 전개가 숫자 $0$ 과 $2$ 만을 사용하는 $[0, 1]$ 의 점들의 집합(표준 중간삼분의 일 칸토어 집합)이라 하자. $C + C = \{x + y : x, y \in C\}$ 에 대해 $C + C = [0, 2]$ 임을 증명하라.

C = \left\{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2a_n}{3^n} : a_n \in \{0, 1\} \right\}

C + C = [0, 2]

칸토어 집합

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숫자를 $2$ 로 나누어 다시 쓰면 $C = \{\sum_{n \ge 1} 2a_n 3^{-n} : a_n \in \{0,1\}\}$ 이다. $x, y \in C$ 이면 $x + y \le 2$ 이므로 $C + C \subset [0, 2]$ 는 자명하다. 역포함을 보인다.
$s \in [0, 2]$ 라 하자. $s/2 \in [0, 1]$ 은 삼진법 전개 $s/2 = \sum_{n \ge 1} e_n 3^{-n}$ ( $e_n \in \{0, 1, 2\}$ )를 갖는다. 각 자릿수를 쪼갠다: $e_n = 0$ 이면 $(a_n, b_n) = (0, 0)$ , $e_n = 1$ 이면 $(1, 0)$ , $e_n = 2$ 이면 $(1, 1)$ 이라 두면 $a_n, b_n \in \{0, 1\}$ 이고 $e_n = a_n + b_n$ 이다. $x = \sum 2a_n 3^{-n}$ , $y = \sum 2b_n 3^{-n}$ 이라 두면 $x, y \in C$ 이고
$x + y = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(a_n + b_n)}{3^n} = 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e_n}{3^n} = s.$
따라서 $s \in C + C$ 이다. $s$ 가 임의였으므로 $[0, 2] \subset C + C$ 이고, 양쪽 포함으로 $C + C = [0, 2]$ 이다. 측도가 $0$ 인 "구멍투성이" 집합 두 개의 합이 구간 전체가 된다는 점이 놀랍다.

어려움

4어려움

$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 의 연속점들의 집합을 $C(f)$ 라 하자. (a) 진동(oscillation) $\omega_f(x) = \inf_{\delta > 0} \sup\{|f(y) - f(z)| : y, z \in (x-\delta, x+\delta)\}$ 을 이용해 $C(f) = \bigcap_{k=1}^{\infty} \{x : \omega_f(x) < 1/k\}$ 이고 각 $\{x : \omega_f(x) < 1/k\}$ 가 열려 있음을 보여라. 즉 $C(f)$ 는 $G_\delta$ 집합이다. (b) 베어 범주 정리를 이용해 $\mathbb{Q}$ 가 $\mathbb{R}$ 의 $G_\delta$ 부분집합이 아님을 보여라. (c) 유리수에서 정확히 연속이고 무리수에서 정확히 불연속인 함수 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 는 존재하지 않음을 결론지어라.

C(f) = \bigcap_{k=1}^{\infty} \{x : \omega_f(x) < 1/k\}

\mathbb{Q} = \bigcap_{n=1}^{\infty} G_n \ \ (G_n \text{ open}) \quad \Longrightarrow \quad \bigcap_{j=1}^{\infty}\left(G_j \setminus \{q_j\}\right) = \varnothing

베어 카테고리 정리

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(a) $f$ 가 $x$ 에서 연속일 필요충분조건은 $\omega_f(x) = 0$ 이다: 연속이면 $\delta$ -구간 안의 진동이 $0$ 으로 가고, 역으로 진동이 $0$ 이면 $\varepsilon$ - $\delta$ 조건이 그대로 따라온다. 따라서 $C(f) = \bigcap_k \{\omega_f < 1/k\}$ 이다. $\omega_f(x_0) < 1/k$ 라 하자. 하한의 정의에서 어떤 $\delta > 0$ 에 대해 $M := \sup\{|f(y) - f(z)| : y, z \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)\} < 1/k$ 이다. $x_1 \in (x_0 - \delta/2, x_0 + \delta/2)$ 이면 $(x_1 - \delta/2, x_1 + \delta/2) \subset (x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ 이므로 $\omega_f(x_1) \le M < 1/k$ 이다. 즉 $\{\omega_f < 1/k\}$ 는 $x_0$ 의 근방을 포함하므로 열려 있다.
(b) $\mathbb{Q} = \bigcap_n G_n$ ( $G_n$ 열림)이라 가정하자. 각 $G_n \supset \mathbb{Q}$ 는 조밀하므로 열린 조밀 집합이다. $\mathbb{Q} = \{q_1, q_2, \dots\}$ 라 열거하고 $H_j = G_j \cap (\mathbb{R} \setminus \{q_j\})$ 라 두자. 각 $H_j$ 는 열린 조밀 집합이다 ( $\{q_j\}$ 를 제거해도 조밀성은 유지된다). 베어 정리에 의해 $\bigcap_j H_j$ 는 $\mathbb{R}$ 에 조밀하지만, $\bigcap_j H_j \subset \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Q} = \varnothing$ 이므로 모순이다. 따라서 $\mathbb{Q}$ 는 $G_\delta$ 가 아니다.
(c) $C(f) = \mathbb{Q}$ 인 $f$ 가 존재한다면 (a)에 의해 $\mathbb{Q}$ 가 $G_\delta$ 가 되어 (b)에 모순이다. 따라서 유리수에서 정확히 연속인 함수는 존재하지 않는다. (참고로 토매 함수는 그 반대 — 무리수에서 정확히 연속 — 를 실현하며, 무리수 집합은 $G_\delta$ 이다.)