컴팩트 집합

컴팩트

\iff

닫힘 + 유계(하이네–보렐):

[0,1]

은 열린 커버의 처음 6개 구간으로 덮이지만,

(0,1]

은 0 근처의 틈 때문에,

[0,\infty)

는 무한대의 꼬리 때문에 유한 부분커버를 갖지 않습니다. 볼차노–바이어슈트라스의 수열 버전은 완전히 증명하고, 열린 커버 정의의 동치성은 아이디어 수준에서만 봅니다.

예제

$[0,1]$ 이 순차 컴팩트임을 보이세요: $[0,1]$ 안의 모든 수열은 극한이 $[0,1]$ 안에 있는 수렴 부분수열을 갖습니다 (볼차노–바이어슈트라스).

(a_n) \subset [0,1] \Rightarrow \exists\,(a_{n_k}) \to L \in [0,1]

K \text{ compact } \iff K \text{ closed and bounded} \quad \text{(Heine--Borel)}

k = 6

: 처음 6개 열린구간의 합집합

[-0.18, 1.18]

이

[0,1]

을 덮습니다 — 유한 부분커버가 존재합니다.

증명 보기

$(a_n)$ 을 $[0,1]$ 안의 임의의 수열이라 하자. 이 수열은 유계이므로 볼차노–바이어슈트라스 정리에 따라 수렴하는 부분수열 $(a_{n_k}) \to L$ 이 존재한다.
모든 $k$ 에 대해 $0 \le a_{n_k} \le 1$ 이므로, 극한을 취하면 부등식이 보존되어 $0 \le L \le 1$ 이다. 즉 $L \in [0,1]$ — 닫힌 구간은 극한점을 놓치지 않는다.
따라서 $[0,1]$ 안의 모든 수열은 극한이 $[0,1]$ 안에 있는 수렴 부분수열을 갖는다: $[0,1]$ 은 순차 컴팩트이다.
$\mathbb{R}$ 에서는 순차 컴팩트 ⟺ 컴팩트 (하이네–보렐: 닫힘 + 유계)이다. 열린 커버 쪽 그림도 같은 이야기이다: 위 장면처럼 처음 6개 구간 $U_1, \dots, U_6$ 의 합집합 $[-0.18, 1.18]$ 이 $[0,1]$ 전체를 덮는다 — 커버 전체를 다 쓸 필요가 없다. (열린 커버 정의의 동치성 증명은 아이디어 수준에서만 본다.)

$(0,1]$ 이 컴팩트가 아님을 보이세요: 수열 $a_n = 1/n$ 은 $(0,1]$ 안에 극한점을 갖는 수렴 부분수열을 하나도 갖지 않습니다.

a_n = \frac{1}{n} \to 0, \qquad 0 \notin (0,1]

\bigcup_{k=1}^{N} \left(\tfrac{1}{k}, 2\right) = \left(\tfrac{1}{N}, 2\right): \text{ the gap } \left(0, \tfrac{1}{N}\right] \text{ is never covered}

k = 8

: 8개 구간을 모두 써도

(0, 1/8]

이 남습니다 —

0

이 빠져 있어 유한 부분커버가 없습니다.

증명 보기

$a_n = 1/n$ 이라 하자. 모든 $n$ 에 대해 $a_n \in (0,1]$ 이고, $a_n \to 0$ 이다.
수렴수열의 부분수열은 같은 극한으로 수렴하므로, $(a_n)$ 의 임의의 부분수열 $(a_{n_k})$ 도 $0$ 으로 수렴한다.
그런데 $0 \notin (0,1]$ 이므로, 어떤 부분수열도 $(0,1]$ 안의 점으로 수렴하지 않는다. 따라서 $(0,1]$ 은 순차 컴팩트가 아니며, 컴팩트도 아니다.
열린 커버 그림도 같은 실패를 보여준다: 커버의 구간 $U_k = \left(\frac{1}{k}, 2\right)$ ( $k = 1, \dots, 8$ ) 중에서 처음 $N$ 개를 골라도 그 합집합은 $\left(\frac{1}{N}, 2\right)$ 꼴이라 틈 $\left(0, \frac{1}{N}\right]$ 이 남는다 — $k = 8$ 에서는 $(0, 1/8]$ 이다. 틈이 메워지려면 $0$ 이 있어야 하는데, $0$ 은 집합에 없다.

$K$ 가 컴팩트이고 $f$ 가 $K$ 위에서 연속이면, 상 $f(K)$ 도 컴팩트임을 보이세요.

y_n = f(x_n), \quad x_{n_k} \to x \in K \Rightarrow f(x_{n_k}) \to f(x) \in f(K)

K = [0,1] \text{ compact} \Rightarrow f(K) \text{ compact } \Rightarrow \max f, \min f \text{ exist (EVT)}

최댓값 정리의 엔진:

[0,1]

이 컴팩트이므로 연속상

f([0,1])

도 컴팩트 — 최댓값·최솟값이 존재합니다.

증명 보기

$y_n \in f(K)$ 를 임의의 수열이라 하자. 각 $y_n = f(x_n)$ 인 $x_n \in K$ 를 택한다.
$K$ 가 컴팩트이므로 $(x_n)$ 은 $x \in K$ 로 수렴하는 부분수열 $(x_{n_k})$ 를 갖는다 (순차 컴팩트).
$f$ 는 $x$ 에서 연속이므로 $f(x_{n_k}) \to f(x)$ 이다. 즉 부분수열 $y_{n_k} = f(x_{n_k})$ 는 $f(x) \in f(K)$ 로 수렴한다.
따라서 $f(K)$ 안의 모든 수열은 $f(K)$ 안의 점으로 수렴하는 부분수열을 갖는다: $f(K)$ 는 순차 컴팩트이며, 따라서 컴팩트이다. 이것이 최댓값 정리(evt 씬)의 엔진이다 — $[0,1]$ 위의 연속함수 $f$ 에 대해 $f([0,1])$ 이 컴팩트이므로 $\mathbb{R}$ 에서 닫혀 있고 유계이며, 상한·하한을 실제로 취한다.