라이프니츠 급수 | Real Analysis

부분합이

\frac{\pi}{4}

를 번갈아 넘고 밑돌며 조여드는 모습을 확인합니다. 이웃한 두 부분합 사이의 간격이 곧 오차의 상한입니다.

예제

교대급수 오차 추정 $\left|S_N - \frac{\pi}{4}\right| \le \frac{1}{2N+1}$ 을 증명하세요.

|L - S_N| \le |S_{N+1} - S_N| = \frac{1}{2N+1}

N = 12

: 오차

\le 1/25 = 0.04

— 위아래에서 조여듭니다.

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교대급수 $\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k a_k$ ( $a_k \downarrow 0$ )의 부분합은 진동하며 조여듭니다: 짝수 부분합은 증가하고 홀수 부분합은 감소하며, 극한 $L$ 은 항상 연속한 두 부분합 사이에 있습니다.
따라서 $|L - S_N| \le |S_{N+1} - S_N| = a_{N+1}$ 입니다. 라이프니츠 급수에서는 $a_{N+1} = \frac{1}{2N+1}$ 이므로 $\left|S_N - \frac{\pi}{4}\right| \le \frac{1}{2N+1}$ 입니다.
(급수 자체의 수렴은 교대급수 판정법으로 따릅니다 — $a_k = \frac{1}{2k+1} \downarrow 0$ .)

소수점 아래 3자리까지 정확하려면 몇 개의 항이 필요한가요? 오차 한계를 이용해 구하세요.

\frac{1}{2N+1} < 0.0005 \iff N \ge 1000

N = 60

에서도 소수 둘째 자리 — 수렴이 매우 느립니다.

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소수 3자리 정확도(반올림 기준)는 오차 $< 0.0005$ 를 요구합니다.
오차 추정으로 $\frac{1}{2N+1} < 0.0005$ , 즉 $2N + 1 > 2000$ 이 필요합니다. $N = 999$ 이면 $\frac{1}{1999} \approx 0.00050025 > 0.0005$ 이므로, $N \ge 1000$ 이어야 합니다.
따라서 1000개의 항이 필요합니다 — 라이프니츠 급수의 악명 높은 느림입니다.

$\arctan x = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k x^{2k+1}}{2k+1}$ ( $|x| < 1$ )를 유도하고, $x = 1$ 에서 라이프니츠 급수가 됨을 설명하세요. (마지막 단계는 아벨 정리로 정당화되며, 여기서는 알려진 사실로 둡니다.)

\arctan x = \int_0^x \frac{dt}{1+t^2} = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k x^{2k+1}}{2k+1}

이 급수의 출처:

\arctan

의 거듭제곱급수에

x = 1

대입.

증명 보기

$|t| < 1$ 에서 $\frac{1}{1+t^2} = \sum_{k=0}^{\infty}(-t^2)^k$ 입니다 (기하급수).
$|x| < 1$ 인 구간 $[0, x]$ 에서는 균등수렴하므로 항별 적분이 정당합니다: $\arctan x = \int_0^x \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k t^{2k}\,dt = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k x^{2k+1}}{2k+1}$ .
$x = 1$ 대입은 조건수렴 급수이므로 아벨 정리가 필요합니다 — 알려진 사실로 받아들이면 $\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$ 가 라이프니츠 급수와 같습니다.