6. 급수

무한급수의 수렴과 발산을 부분합의 움직임으로 확인하고, 수렴 판정 도구들을 익힙니다.

• 조화급수의 발산 — 부분합 $S_n$이 $\ln n + \gamma$를 따라 아주 느리게, 그러나 끝없이 커지는 모습을 확인합니다.
• 오일러-마스케로니 상수 — 조화수 $H_n$은 $\ln n$처럼 발산하지만, 그 차이 $\gamma_n = H_n - \ln n$은 $\gamma \approx 0.5772$로 수렴합니다 — 수렴하는 급수 $\sum (\frac1n - \ln(1+\frac1n))$가 그 비밀입니다.
• 바젤 문제 — 항 $\frac{1}{n^2}$을 3차원 막대로 쌓고 부분합의 계단이 $\frac{\pi^2}{6}$ 평면에 닿지 못한 채 다가가는 모습을 확인합니다. $\pi$가 왜 등장하는지는 아이디어 수준에서만 짚습니다.
• 오일러 곱 공식 — $\zeta(s) = \sum_{n\ge 1} n^{-s}$에 $(1-2^{-s})$를 곱하면 짝수 항이 사라지고, $(1-3^{-s})$를 곱하면 3의 배수가 사라집니다 — 체로 걸러내면 남는 것은 소수 위의 곱 $\prod_p (1-p^{-s})^{-1}$뿐입니다. 처음 $k$개 소수의 부분 곱이 $\zeta(2) = \pi^2/6$에 다가가는 모습을 확인합니다.
• 라이프니츠 급수 — 부분합이 $\frac{\pi}{4}$를 번갈아 넘고 밑돌며 조여드는 모습을 확인합니다. 이웃한 두 부분합 사이의 간격이 곧 오차의 상한입니다.
• 수렴 판정법 도구상자 — 비율 $r_k = a_{k+1}/a_k$가 극한 $L < 1$로 모이면 급수가 수렴합니다 — 두 급수에서 비율이 $0$과 $\frac{1}{2}$로 내려가는 모습을, 비교 판정법에서는 $\frac{1}{k^2+1}$이 $\frac{1}{k^2}$ 아래에 깔리는 모습을 확인합니다.
• 라베 판정법 — 비율이 1로 가서 비율 판정법이 항복할 때, 한 단계 더 깊이 본 양 $R_n = n(a_n/a_{n+1} - 1)$이 1 위/아래 어디에 안착하는지로 수렴을 가릅니다.
• 쿰머 판정법 — 양의 보조수열 $(p_n)$로 비율을 가중하면 $K_n = p_n\frac{a_n}{a_{n+1}} - p_{n+1}$이 0 위/아래 어디에 머무는지로 수렴을 가릅니다. $p_n = 1$이면 비율 판정법, $p_n = n$이면 라베 판정법이 됩니다.
• 코시 응축 판정법 — $a_n$의 항들을 $[2^n, 2^{n+1})$ 블록으로 묶어 보세요 — 블록 합이 응축 항 $2^n a_{2^n}$ 사이에 끼면서, 원래 급수와 응축된 급수가 운명을 같이합니다.
• 망원급수 — 각 항을 $\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$로 쪼개면 이웃끼리 서로 지워지고 처음의 1과 사라져 가는 꼬리만 남는 모습을 확인합니다.
• 기하급수: 정사각형 채우기 — 단위 정사각형을 남은 부분의 절반씩 채워 나가면 빈틈이 매 단계 절반으로 줄며 합이 1이 되는 모습을 확인합니다.
• 월리스 곱 — 유리수 인수들을 하나씩 곱해 나갈수록 실행 곱이 $\frac{\pi}{2}$ 위아래로 흔들리며 조여드는 모습을 확인합니다.
• 스털링 근사 — 로그 눈금에서 $n!$와 스털링 근사가 거의 겹쳐지고 상대오차가 대략 $\frac{1}{12n}$으로 줄어드는 모습을 확인합니다. $\pi$가 들어오는 경로는 아이디어 수준에서만 짚습니다.
• 그란디 급수 — 부분합이 1과 0을 영원히 오가므로 이 급수에는 합이 없습니다. $\frac{1}{2}$는 부분합들의 평균(체사로 평균)일 뿐, 급수의 합이 아닙니다.
• 디리클레 판정법 — 부분합이 $1/|\sin(x/2)|$ 안에 갇혀 흔들리는 $\sin(kx)$와 $0$으로 가라앉는 $1/n$이 만나 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n}$이 수렴합니다 — 디리클레 판정법.
• 아벨 판정법 — \\\sum a_n\이 수렴하고 \(b_n)\이 단조·유계이면 \\\sum a_n b_n\도 수렴합니다 — 디리클레 판정법의 짝꿍. \(b_n)\이 0으로 가지 않아도 된다는 점이 다릅니다.