수열공간과 함수공간

$\ell^1, \ell^2, \ell^\infty$와 $C[0,1]$ — 점별 연산으로는 벡터공간이고, 노름 $\|x - y\|$로는 거리공간입니다. 노름공간이 두 세계를 잇는 다리입니다. $x_n = 1/n^\alpha$로 포함관계 $\ell^1 \subset \ell^2 \subset \ell^\infty$를 눈으로 확인합니다. $\ell^p$와 $C[0,1]$이 완비(바나흐 공간)라는 것은 알려진 정리로만 언급합니다.

예제

$(1, 1/2, 1/3, \dots)$가 $\ell^2$에는 속하지만 $\ell^1$에는 속하지 않음을 증명하세요.

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} < \infty$$

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = \infty$$

증명 보기

1. $x_n = 1/n$이라 두자. $\sum_{n=1}^{\infty} x_n^2 = \sum_{n=1}^{\infty} 1/n^2 = \pi^2/6 < \infty$이므로, 제곱합이 유한 — 즉 $x \in \ell^2$이다.
2. 반면 조화급수 $\sum_{n=1}^{\infty} |x_n| = \sum_{n=1}^{\infty} 1/n = \infty$는 발산하므로 $x \notin \ell^1$이다.
3. 따라서 $(1, 1/2, 1/3, \dots) \in \ell^2 \setminus \ell^1$ — 제곱하면 수렴하는데 절댓값으로는 안 모이는 수열이 존재한다. 이것이 $\ell^1 \subsetneq \ell^2$의 핵심 예시다.

$\ell^1 \subset \ell^2$임을 증명하세요.

$$\sum |x_n| < \infty \implies \sum x_n^2 < \infty$$

증명 보기

1. $x \in \ell^1$이라 하자. $\sum |x_n| < \infty$이므로 $|x_n| \to 0$ — 따라서 $|x_n| < 1$인 $N$이 존재한다 ($n \geq N$).
2. $n \geq N$에서 $x_n^2 = |x_n| \cdot |x_n| \leq |x_n| \cdot 1 = |x_n|$이다 — 작은 수의 제곱은 원래 수보다 작다.
3. 따라서 $\sum_{n \geq N} x_n^2 \leq \sum_{n \geq N} |x_n| \leq \sum |x_n| < \infty$이다. 앞의 유한 개 항은 수렴성에 영향을 주지 않으므로 $\sum x_n^2 < \infty$ — 즉 $x \in \ell^2$이다.

$d_\infty(x, y) = \sup_n |x_n - y_n|$이 $\ell^\infty$ 위의 거리임을 증명하세요.

$$d_\infty(x, y) = \sup_n |x_n - y_n|$$

증명 보기

1. $x, y \in \ell^\infty$이면 $(|x_n - y_n|)$은 유계 수열이므로 상한이 존재하고 유한하다 — $d_\infty(x, y)$는 잘 정의되고 $d_\infty(x, y) \geq 0$이다.
2. $d_\infty(x, y) = 0$ ⟺ 모든 $n$에 대해 $|x_n - y_n| = 0$ ⟺ $x = y$이다. 대칭성 $d_\infty(x, y) = d_\infty(y, x)$는 $|x_n - y_n| = |y_n - x_n|$에서 바로 나온다.
3. 삼각 부등식: 각 $n$에 대해 $|x_n - z_n| \leq |x_n - y_n| + |y_n - z_n| \leq d_\infty(x, y) + d_\infty(y, z)$이다. 우변이 $n$에 무관하므로 상한을 취하면 $d_\infty(x, z) \leq d_\infty(x, y) + d_\infty(y, z)$를 얻는다.
4. 따라서 $d_\infty$는 거리 공리를 모두 만족한다 — $\ell^\infty$는 거리공간이며, 이는 노름 $\|x\|_\infty = \sup_n |x_n|$이 만든 거리 $d(x, y) = \|x - y\|$와 같다.

2. 수열