함수 합성 증명 | Real Analysis

합성 함수의 단사성·전사성 법칙을 구체적 표로 증명하는 장면입니다:

g \circ f

가 단사이면

f

도 단사,

g \circ f

가 전사이면

g

도 전사 — 그리고 역이 왜 거짓인지(

g

가 단사일 필요가 없고

f

가 전사일 필요가 없음)를 화살표 그림 위에서 직접 확인합니다. 전단사인 경우

(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}

의 순서 뒤집힘까지 계산으로 보입니다.

예제

$g \circ f$ 가 단사(injective)라면 $f$ 도 단사임을 완전히 증명하세요. 그리고 씬의 injective-chain 예제( $f = [0,1]$ , $g = [0,1,0]$ )를 이용해, 이 가정이 $g$ 자체에 대해서는 아무것도 보장하지 않음( $g(0) = g(2) = 0$ )을 확인하세요.

f(a_1) = f(a_2) \;\Rightarrow\; g(f(a_1)) = g(f(a_2)) \;\Rightarrow\; a_1 = a_2

g \circ f = [0, 1] \text{ injective},\quad g(0) = g(2) = 0 \;\Rightarrow\; g \text{ not injective}

injective-chain:

A = [0,1]

B = [0,1,2]

C = [0,1]

f = [0,1]

g = [0,1,0]

, 합성

g \circ f = [0,1]

(단사).

f

단사 ✓,

g

단사 ✗.

증명 보기

$f(a_1) = f(a_2)$ 라 가정하세요. 양변에 $g$ 를 적용하면 $(g \circ f)(a_1) = g(f(a_1)) = g(f(a_2)) = (g \circ f)(a_2)$ 입니다. 가정에 의해 $g \circ f$ 는 단사이므로 $a_1 = a_2$ — 따라서 $f$ 는 단사입니다. 그림으로는: 합성 화살표 끝에서 시작점을 유일하게 복원할 수 있다면, 앞쪽 화살표도 시작점을 유일하게 복원합니다.
역은 성립하지 않습니다: 씬의 표에서는 $g \circ f = [0,1]$ 이 단사이고 $f = [0,1]$ 도 단사이지만, $g = [0,1,0]$ 은 $g(0) = g(2) = 0$ 을 만족하므로 단사가 아닙니다. 뒷쪽 함수 $g$ 는 앞쪽 함수 $f$ 의 치역 밖에서 마음대로 충돌해도 합성의 단사성에는 영향을 주지 않습니다 (이 예제에서 $2 \in B$ 는 $f$ 의 치역에 들어가지 않습니다).

$f$ 와 $g$ 가 모두 전단사(bijective)라면 $g \circ f$ 도 전단사고 $(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$ 임을, 결합법칙을 써서 양쪽 곱이 항등함수가 됨을 보이는 방식으로 완전히 증명하세요. 씬의 bijective 표에서 $g \circ f$ 가 항등함수가 되는 것도 직접 확인하세요.

(f^{-1} \circ g^{-1}) \circ (g \circ f) = f^{-1} \circ (g^{-1} \circ g) \circ f = \mathrm{id}

(g \circ f) \circ (f^{-1} \circ g^{-1}) = g \circ (f \circ f^{-1}) \circ g^{-1} = \mathrm{id}

bijective:

A = B = C = [0,1,2]

f = [1,2,0]

g = [2,0,1]

, 합성

g \circ f = [g(1), g(2), g(0)] = [0,1,2]

(항등함수).

f^{-1} = [2,0,1]

g^{-1} = [1,2,0]

증명 보기

먼저 $(f^{-1} \circ g^{-1}) \circ (g \circ f)$ 를 결합법칙으로 다시 묶습니다: $(f^{-1} \circ g^{-1}) \circ (g \circ f) = f^{-1} \circ (g^{-1} \circ g) \circ f$ . $g$ 는 전단사이므로 $g^{-1} \circ g = \mathrm{id}_{B}$ 이고, $f$ 는 전단사이므로 $f^{-1} \circ \mathrm{id}_{B} \circ f = f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_{A}$ — 좌역함수입니다.
반대 방향도 마찬가지입니다: $(g \circ f) \circ (f^{-1} \circ g^{-1}) = g \circ (f \circ f^{-1}) \circ g^{-1} = g \circ \mathrm{id}_{B} \circ g^{-1} = \mathrm{id}_{C}$ — 우역함수입니다. 좌역함수와 우역함수를 모두 가지므로 $g \circ f$ 는 전단사이고 그 역함수는 $f^{-1} \circ g^{-1}$ 입니다 (역함수의 유일성).
씬의 표에서 직접 확인: $f = [1,2,0]$ , $g = [2,0,1]$ 이면 $(g \circ f)(0) = g(f(0)) = g(1) = 0$ , $(g \circ f)(1) = g(2) = 1$ , $(g \circ f)(2) = g(0) = 2$ 이므로 $g \circ f = [0,1,2]$ — 항등함수입니다. 역표 $f^{-1} = [2,0,1]$ , $g^{-1} = [1,2,0]$ 에 대해서도 같은 합성을 계산하면 $(f^{-1} \circ g^{-1})(0) = f^{-1}(g^{-1}(0)) = f^{-1}(1) = 0$ , $(1)$ 에서 $f^{-1}(2) = 1$ , $(2)$ 에서 $f^{-1}(0) = 2$ — 역시 $[0,1,2]$ 이며 $(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$ 을 모델의 brute-force 검증으로 뒷받침합니다.

$g \circ f$ 가 전사(surjective)라면 $g$ 도 전사임을 완전히 증명하세요. 그리고 씬의 surjective-chain 표( $f = [0,1]$ , $g = [0,1,0]$ , $B = [0,1,2]$ )에서 $f$ 는 전사가 아니면서( $2$ 를 놓침) 합성 $g \circ f = [0,1]$ 이 $C$ 를 온전히 덮는 이유를 표로 확인하세요.

c \in C \;\Rightarrow\; \exists a: g(f(a)) = c \;\Rightarrow\; b = f(a) \text{ has } g(b) = c

g \circ f = [0, 1] \text{ surjective onto } C,\quad 2 \notin f(A) \;\Rightarrow\; f \text{ not surjective}

surjective-chain:

A = [0,1]

B = [0,1,2]

C = [0,1]

f = [0,1]

(

2

를 놓침 — 전사 아님),

g = [0,1,0]

(전사 ✓), 합성

g \circ f = [0,1]

(전사 ✓).

증명 보기

$c \in C$ 를 임의로 잡으세요. $g \circ f$ 가 전사이므로 $g(f(a)) = c$ 인 $a \in A$ 가 존재합니다. 이제 $b = f(a) \in B$ 로 두면 $g(b) = g(f(a)) = c$ — $c$ 의 $g$ -역원소가 존재하므로 $g$ 는 전사입니다. 그림으로는: 합성 화살표가 $C$ 의 모든 점을 맞히면, 뒷쪽 화살표도 모든 점을 맞혀야 합니다.
앞쪽 함수 $f$ 는 전사일 필요가 없습니다: 이 예제에서 $f = [0,1]$ 은 $B$ 의 원소 $2$ 를 놓치므로 전사가 아니지만, $g = [0,1,0]$ 이 $g(0) = 0$ , $g(1) = 1$ 로 $C$ 의 양쪽 원소를 모두 맞히기 때문에 합성 $g \circ f = [0,1]$ 은 전사입니다. $g$ 가 $f$ 의 치역 밖에서 추가로 뭘 하는지는 합성에 아무 영향이 없습니다 (여기서 $g(2) = 0$ ).