재배열 정리 | Real Analysis

조건수렴 급수는 순서를 바꾸면 합이 바뀝니다 —

\ln 2 \approx 0.6931

이

\frac{3}{2}\ln 2 \approx 1.0397

로. 라이프니츠 장면의 짝꿍입니다.

예제

$(+,+,-)$ 재배열의 부분합이 $\frac{3}{2}\ln 2 \approx 1.0397$ 로 수렴함을 수치로 확인하세요. (수치 확인 — 엄밀한 증명은 생략합니다.)

\frac{3}{2}\ln 2 \approx 1.03972

n=150

: 재배열 부분합이

1.0397

근처에 안착합니다.

증명 보기

$n = 150$ 에서 재배열 부분합 $T_{150}$ 을 직접 계산하면 목표값 $\frac{3}{2}\ln 2 \approx 1.03972$ 와 $0.01$ 이내로 일치합니다 — $|T_{150} - \frac{3}{2}\ln 2| \approx 0.0050$ . (수치 확인)
$n = 300$ 으로 늘리면 오차는 약 $0.0025$ 로 더 줄어듭니다 — 수렴 방향이 일관되므로 단순한 우연이 아닙니다.
일반 공식도 알려드립니다 (아이디어 수준): $p$ 개 양항과 $q$ 개 음항을 반복하는 재배열의 합은 $\ln 2 + \frac{1}{2}\ln\frac{p}{q}$ 입니다. $p = 2, q = 1$ 을 대입하면 $\ln 2 + \frac{1}{2}\ln 2 = \frac{3}{2}\ln 2$ 가 나옵니다. 이 공식의 증명은 여기서 다루지 않습니다.

절대수렴 급수는 재배열해도 합이 바뀌지 않음을 아이디어 수준으로 설명하세요. (엄밀한 증명은 생략합니다.)

꼬리를 얼마든 작게 만들 수 있으면 순서는 중요하지 않습니다.

증명 보기

$\sum a_n$ 이 절대수렴하면, $\varepsilon > 0$ 마다 꼬리 $\sum_{n>N}|a_n| < \varepsilon$ 을 만족하는 $N$ 이 존재합니다. (스케치 — 엄밀한 증명은 생략)
재배열의 부분합도 충분히 멀리 가면 원래 급수의 처음 $N$ 개 항을 모두 포함하므로, 두 부분합의 차이는 꼬리 항들로만 이루어져 $2\varepsilon$ 보다 작아집니다.
$\varepsilon$ 은 임의이므로 두 합은 같습니다. 즉, 꼬리를 얼마든 작게 만들 수 있으면 순서를 바꿔도 합이 바뀌지 않습니다.

교대조화급수의 부분합이 $\lvert S_n - \ln 2\rvert \leq \frac{1}{n+1}$ 을 만족함을 증명하세요.

\lvert R_n\rvert \leq a_{n+1} = \frac{1}{n+1}

n=100

: 오차가

1/101 \approx 0.0099

안에 갇힙니다.

증명 보기

$a_n = 1/n$ 은 감소하면서 $0$ 으로 갑니다. 짝수 부분합은 증가하고 홀수 부분합은 감소합니다: $S_{2m+2} - S_{2m} = a_{2m+1} - a_{2m+2} > 0$ , $S_{2m+3} - S_{2m+1} = -(a_{2m+2} - a_{2m+3}) < 0$ .
극한 $S = \ln 2$ 는 항상 연속한 두 부분합 $S_n$ 과 $S_{n+1}$ 사이에 끼이므로, $|S - S_n| \le |S_{n+1} - S_n| = a_{n+1} = \frac{1}{n+1}$ 입니다.
예를 들어 $n = 100$ 이면 $|S_{100} - \ln 2| \le \frac{1}{101} \approx 0.0099$ 입니다 — 캡션의 수치와 일치합니다.