Hadamard 간극 정리 | Real Analysis

S_N(z) = \sum_{k=0}^{N} z^{2^k}

(간극비 정확히 2):

r \in \{0.90, 0.95, 0.99\}

에 대해

|S_N(r e^{i\theta})|

를 그리면

N

이 커질수록 봉우리가 점점 더 많은 각도에서 솟아오릅니다 — 수렴반경이 정확히 1인 간극 급수는 단위원 위의 모든 점에서 특이점이 됩니다. 간극 없는 대조군

\sum z^k/(k+1)^2

는 얌전합니다.

예제

$f(z) = \sum_{k=0}^{\infty} z^{2^k}$ 의 수렴반경이 정확히 1임을 Cauchy-Hadamard 근 판정법으로 증명하세요.

f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n, \qquad a_n = 1\ (n = 2^k),\; a_n = 0\ \text{otherwise}

\frac{1}{R} = \limsup_{n\to\infty} \lvert a_n \rvert^{1/n} = 1 \;\Rightarrow\; R = 1

N = 5

: 원판 안쪽

z = 0.5

에서는

S_5(0.5) \approx 0.81642150902

로 빠르게 수렴 — 수렴반경이 정확히 1이라는 아래 증명과 일치합니다.

증명 보기

$f(z)$ 를 보통의 멱급수 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n$ 으로 씁니다: $n = 2^k$ 인 경우 $a_n = 1$ , 그 외에는 $a_n = 0$ 입니다. Cauchy-Hadamard 공식에 따르면 $\frac{1}{R} = \limsup_{n\to\infty} \lvert a_n \rvert^{1/n}$ 입니다 (약속: $1/0 = \infty$ , $1/\infty = 0$ ).
모든 $n$ 에 대해 $\lvert a_n \rvert^{1/n} \le 1$ 이므로 $\limsup \le 1$ 입니다. 반대로 부분수열 $n = 2^k$ 에서는 $\lvert a_{2^k} \rvert^{1/2^k} = 1^{1/2^k} = 1$ 이므로 $\limsup \ge 1$ 입니다. 따라서 $\limsup = 1$ 이고 $R = 1$ — 정확히 1입니다.
따라서 $\lvert z \rvert < 1$ 에서는 절대 수렴하고, $\lvert z \rvert > 1$ 에서는 일반항 $z^{2^k}$ 이 $\lvert z \rvert^{2^k} \to \infty$ 라 0으로 가지 않으므로 발산합니다. 경계 $\lvert z \rvert = 1$ 는 판정법이 침묵하는 곳 — 바로 간극 정리가 말하는 곳입니다.

$T(z) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{z^k}{(k+1)^2}$ 가 닫힌 단위원판 $\lvert z \rvert \le 1$ 위에서 균등수렴함을 Weierstrass M-판정법으로 증명하고, 그 합이 경계까지 연속으로 확장됨을 보이세요. 간극이 없으면 자연경계가 생기지 않는다는 뜻입니다.

\left\lvert \frac{z^k}{(k+1)^2} \right\rvert \le \frac{1}{(k+1)^2} = M_k, \quad \sum_{k=0}^{\infty} M_k = \frac{\pi^2}{6} < \infty

\max_\theta \lvert T_{200}(0.99\,e^{i\theta}) \rvert \approx 1.6045 < 1.65 < \frac{\pi^2}{6}

N = 12

: 회색 점선

T_{12}

는

\max_\theta \lvert T_{12} \rvert \approx 1.5551

로 얌전합니다 — 간극이 없으면 경계에서 폭발이 없습니다.

증명 보기

$\lvert z \rvert \le 1$ 에서 $\left\lvert z^k/(k+1)^2 \right\rvert \le 1/(k+1)^2 =: M_k$ 이고, $\sum M_k = \sum_{k=1}^{\infty} 1/k^2 = \pi^2/6 < \infty$ (Basel 문제)입니다. Weierstrass M-판정법에 따라 $\sum z^k/(k+1)^2$ 는 닫힌 원판 $\lvert z \rvert \le 1$ 위에서 균등수렴합니다.
각 부분합은 다항식이므로 연속이고, 연속함수들의 균등극한은 연속이므로, 합 $T(z)$ 는 닫힌 원판 전체에서 연속입니다. 즉 $T$ 는 경계 $\lvert z \rvert = 1$ 까지 연속으로 확장됩니다 — 경계 위의 모든 점이 연속점이라 특이점이 하나도 없습니다.
$T(z)$ 와 $\sum z^{2^k}$ 는 수렴반경이 둘 다 정확히 1이지만 운명이 정반대입니다 — 차이를 만드는 것은 간극입니다. 측정값도 일치합니다: $\max_\theta \lvert T_{200}(0.99\,e^{i\theta}) \rvert \approx 1.6045 < \pi^2/6 \approx 1.6449$ 로, 경계 근처에서도 폭발의 기미가 없습니다.

Hadamard 간극 정리의 핵심 아이디어를 2–3단계로 스케치하세요: 경계 너머로 정칙 확장된다고 가정하면 간극이 어떻게 모순을 강제하는지 설명하세요. 이것은 완전한 증명이 아니라 아이디어의 스케치임을 답안에 명시하세요.

s_k(z) = \sum_{j=0}^{k} z^{2^j}, \qquad s_{k+1}(z) - s_k(z) = z^{2^{k+1}}

\lvert z_0 \rvert > 1 \;\Rightarrow\; \lvert z_0 \rvert^{2^{k+1}} \to \infty

N = 12

: 봉우리 106개가 경계에 빽빽합니다 — 아래는 이 그림이 암시하는 것의 증명 아이디어입니다 (스케치이지 완전한 증명이 아닙니다).

증명 보기

귀류법을 시작합니다: $f(z) = \sum_{k\ge 0} z^{2^k}$ 가 경계 위의 어떤 점 $\zeta$ ( $\lvert \zeta \rvert = 1$ ) 너머로 정칙 확장된다고 가정합니다. 그러면 $\zeta$ 의 작은 원판 $D$ 가 있어 $f$ 가 $D$ 전체에서 정칙인 함수와 $\lvert z \rvert < 1$ 안에서 일치합니다 — 즉 $D$ 는 단위원 바깥으로 삐져나옵니다.
[아이디어 — 여기서 증명하지 않는 단계] 간극이 강제하는 overconvergence: 부분합 $s_k(z) = \sum_{j=0}^{k} z^{2^j}$ 는 $\lvert z \rvert < 1$ 에서 $f$ 로, 따라서 $D \cap \{\lvert z \rvert < 1\}$ 에서 그 확장함수로 수렴합니다. 새 부분합은 항을 하나만 더하면서 차수는 두 배 ( $2^{k+1} = 2\cdot 2^k$ )로 뜁니다 — 사이에 낄 중간 항이 하나도 없으므로, 고전적인 overconvergence 보조정리가 수열 $s_k$ 를 $D$ 전체 (즉 $\lvert z \rvert > 1$ 인 점들까지) 에서까지 균등수렴시킵니다. 이 보조정리가 기술적 핵심이며, 여기서는 증명하지 않습니다.
그러나 $\lvert z_0 \rvert > 1$ 인 점에서는 $s_{k+1}(z_0) - s_k(z_0) = z_0^{2^{k+1}}$ 이고 $\lvert z_0^{2^{k+1}} \rvert = \lvert z_0 \rvert^{2^{k+1}} \to \infty$ 이므로, $s_k(z_0)$ 는 수렴할 수 없습니다 — 모순입니다. 따라서 어떤 경계점에서도 정칙 확장은 불가능하고, 단위원 위의 모든 점이 특이점입니다. 다시 강조합니다: 이것은 증명의 아이디어(골격)이지 완전한 증명이 아닙니다.