절대수렴 정리

절댓값을 씌운 급수가 수렴하면 원래 급수도 수렴합니다 — 두 부분합 곡선 SnS_n과 TnT_n이 함께 안착하는 모습과, 조화급수처럼 절댓값은 발산해도 부호 덕분에 수렴하는 경우를 견주어 확인합니다.

∑∣ak∣ converges ⇒ ∑ak converges\sum|a_k|\ \text{converges}\ \Rightarrow\ \sum a_k\ \text{converges}
∑k=1∞(−1)kk2=−π212,∑k=1∞(−1)kk=−ln⁡2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k^2}=-\frac{\pi^2}{12},\quad\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k}=-\ln 2

예제

∑k=1∞(−1)kk2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k^2}가 절대수렴함을 증명하세요.

∑k=1∞∣(−1)kk2∣=∑k=1∞1k2=π26<∞\sum_{k=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^k}{k^2}\right|=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}<\infty
n=60n = 60: S60≈−0.82233S_{60} \approx -0.82233, T60≈1.62841T_{60} \approx 1.62841 — 절댓값 급수가 π2/6≈1.64493\pi^2/6 \approx 1.64493 아래에서 수렴합니다.
증명 보기
  1. ∣(−1)kk2∣=1k2\left|\frac{(-1)^k}{k^2}\right| = \frac{1}{k^2}입니다.
  2. ∑k=1∞1k2=π26≈1.64493\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6} \approx 1.64493은 수렴합니다 (바젤 장면의 결과).
  3. 따라서 원래 급수는 절대수렴합니다. 참고로 합은 −π212≈−0.822467-\frac{\pi^2}{12} \approx -0.822467이고, n=60n = 60에서 S60≈−0.82233S_{60} \approx -0.82233으로 소수 셋째 자리까지 맞습니다.

절대수렴하면 수렴함을 코시 판정법으로 증명하세요.

∣∑k=n+1mak∣≤∑k=n+1m∣ak∣<ε\left|\sum_{k=n+1}^{m}a_k\right|\le\sum_{k=n+1}^{m}|a_k|<\varepsilon
n=60n = 60: 절댓값 부분합 TnT_n이 코시 수열이므로 SnS_n도 코시 수열입니다.
증명 보기
  1. ∑∣ak∣\sum |a_k|가 수렴한다고 가정합니다. 부분합 Um=∑k=1m∣ak∣U_m = \sum_{k=1}^{m}|a_k|는 수렴하므로 코시 수열입니다: ε>0\varepsilon > 0마다 m>n≥Nm > n \ge N이면 ∣Um−Un∣=∑k=n+1m∣ak∣<ε|U_m - U_n| = \sum_{k=n+1}^{m}|a_k| < \varepsilon인 NN이 존재합니다.
  2. 원래 급수의 부분합 SmS_m에 대해, 삼각부등식으로 ∣Sm−Sn∣=∣∑k=n+1mak∣≤∑k=n+1m∣ak∣<ε|S_m - S_n| = \left|\sum_{k=n+1}^{m}a_k\right| \le \sum_{k=n+1}^{m}|a_k| < \varepsilon입니다. 따라서 (Sn)(S_n)도 코시 수열입니다.
  3. 실수는 완비적입니다 — 모든 코시 수열이 수렴합니다 (상한 장면의 완비성 공리, 극한 챕터). 따라서 ∑ak\sum a_k는 수렴합니다.

∑k=1∞(−1)kk\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k}가 조건수렴함을 증명하세요.

∑k=1∞∣(−1)kk∣=∑k=1∞1k=∞,but ∑k=1∞(−1)kk converges\sum_{k=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^k}{k}\right|=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}=\infty,\quad\text{but}\ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k}\ \text{converges}
n=60n = 60: S60≈−0.68488S_{60} \approx -0.68488은 −ln⁡2≈−0.69315-\ln 2 \approx -0.69315로 가지만, T60=H60≈4.67987T_{60} = H_{60} \approx 4.67987은 끝없이 자랍니다.
증명 보기
  1. ∑∣(−1)kk∣=∑1k\sum \left|\frac{(-1)^k}{k}\right| = \sum \frac{1}{k}는 조화급수이므로 발산합니다 (조화 장면의 오레스메 증명). n=60n = 60에서 이미 T60=H60≈4.67987T_{60} = H_{60} \approx 4.67987입니다.
  2. 한편 bk=1k↓0b_k = \frac{1}{k} \downarrow 0이므로 교대급수 판정법으로 ∑(−1)kk\sum \frac{(-1)^k}{k}는 수렴합니다 (라이프니츠 장면의 교대급수 추정). 합은 −ln⁡2≈−0.693147-\ln 2 \approx -0.693147이며, S60≈−0.68488S_{60} \approx -0.68488입니다.
  3. 수렴하지만 절대수렴하지 않으므로 조건수렴입니다 — 이것이 바로 재배열이 합을 바꿀 수 있는 경우입니다.

7. 거듭제곱급수