상한과 완비성

위로 유계인 집합은 가장 작은 상한 sup⁡S\sup S를 갖습니다 — 실수의 빈틈을 메우는 공리, 유리수의 구멍 장면의 짝꿍입니다.

sup⁡{1−1n}=1\sup\left\{1-\frac{1}{n}\right\} = 1
S≠∅ bounded above ⇒sup⁡S existsS \ne \varnothing \text{ bounded above } \Rightarrow \sup S \text{ exists}

이 씬이 포함된 학습 경로

예제

S={1−1n:n≥1}S = \left\{1 - \frac{1}{n} : n \geq 1\right\}에 대해 sup⁡S=1\sup S = 1임을 증명하세요. (1∉S1 \notin S임에 유의하세요.)

sup⁡{1−1n}=1∉S\sup\left\{1-\frac{1}{n}\right\} = 1 \notin S
상한 후보 1.21.2 — 참 상한 11보다 0.20.2 큽니다.
증명 보기
  1. 모든 nn에 대해 1−1n<11 - \frac{1}{n} < 1이므로, 11은 SS의 상계입니다.
  2. u<1u < 1인 임의의 실수를 잡습니다. 1−1n>u1 - \frac{1}{n} > u는 1n<1−u\frac{1}{n} < 1 - u, 즉 n>11−un > \frac{1}{1-u}와 동치입니다. 아르키메데스 성질에 의해 그런 nn이 존재하므로 uu는 상계가 아닙니다.
  3. 따라서 11보다 작은 상계는 없고, 11은 가장 작은 상계입니다: sup⁡S=1\sup S = 1. 참고로 n=1n = 1일 때 원소는 00이므로 11 자체는 SS에 속하지 않습니다 — 상한은 집합의 원소일 필요가 없습니다.

위로 유계인 공집합이 아닌 A,B⊂RA, B \subset \mathbb{R}에 대해 sup⁡(A+B)=sup⁡A+sup⁡B\sup(A+B) = \sup A + \sup B임을 증명하세요.

상한 후보 1.51.5에서 참 상한으로 조여옵니다.
증명 보기
  1. (≤) 모든 a∈Aa \in A, b∈Bb \in B에 대해 a+b≤sup⁡A+sup⁡Ba + b \leq \sup A + \sup B이므로, sup⁡A+sup⁡B\sup A + \sup B는 A+BA + B의 상계입니다. 따라서 sup⁡(A+B)≤sup⁡A+sup⁡B\sup(A+B) \leq \sup A + \sup B입니다.
  2. (≥) ε>0\varepsilon > 0을 잡습니다. a>sup⁡A−ε2a > \sup A - \frac{\varepsilon}{2}인 a∈Aa \in A와 b>sup⁡B−ε2b > \sup B - \frac{\varepsilon}{2}인 b∈Bb \in B를 고를 수 있습니다(상한의 정의). 그러면 a+b>sup⁡A+sup⁡B−εa + b > \sup A + \sup B - \varepsilon이므로 sup⁡(A+B)≥sup⁡A+sup⁡B−ε\sup(A+B) \geq \sup A + \sup B - \varepsilon입니다.
  3. ε\varepsilon이 임의였으므로 sup⁡(A+B)≥sup⁡A+sup⁡B\sup(A+B) \geq \sup A + \sup B입니다. 두 부등식을 합쳐 sup⁡(A+B)=sup⁡A+sup⁡B\sup(A+B) = \sup A + \sup B를 얻습니다.

완비성 공리로 s=sup⁡{x∈Q:x≥0,x2<2}s = \sup\{x \in \mathbb{Q} : x \geq 0, x^2 < 2\}가 존재함을 받아들이고, s2=2s^2 = 2임을 검증하세요. (존재 자체의 증명은 아이디어 수준으로 둡니다.)

s2<2⇒contradiction,s2>2⇒contradictions^2 < 2 \Rightarrow \text{contradiction},\quad s^2 > 2 \Rightarrow \text{contradiction}
2≈1.4142\sqrt{2} \approx 1.4142 — 유리수 절단값들이 구멍을 향해 다가갑니다.
증명 보기
  1. (보조정리 — 인용) 유리수 Q\mathbb{Q}는 R\mathbb{R}에서 조밀합니다: 실수의 모든 열린 구간 안에는 유리수가 존재합니다.
  2. S={x∈Q:x≥0,x2<2}S = \{x \in \mathbb{Q} : x \geq 0, x^2 < 2\}는 공집합이 아니고(1∈S1 \in S), 위로 유계입니다(예: 22가 상계). 완비성 공리에 의해 s=sup⁡Ss = \sup S가 존재합니다.
  3. s2<2s^2 < 2라 가정합니다. ε=2−s2>0\varepsilon = 2 - s^2 > 0이라 두면, 보조정리에 의해 s<q<s+ε2(s+1)s < q < s + \frac{\varepsilon}{2(s+1)}인 유리수 qq가 있습니다. 그러면 q2−s2=(q−s)(q+s)<εq^2 - s^2 = (q-s)(q+s) < \varepsilon이므로 q2<s2+ε=2q^2 < s^2 + \varepsilon = 2 — 즉 q∈Sq \in S인데 q>sq > s이므로 ss가 상한이라는 데 모순입니다.
  4. s2>2s^2 > 2라 가정합니다. δ=s2−2>0\delta = s^2 - 2 > 0이라 두면, 보조정리에 의해 s−δ2s<r<ss - \frac{\delta}{2s} < r < s인 유리수 rr이 있습니다. 그러면 s2−r2=(s−r)(s+r)<δs^2 - r^2 = (s-r)(s+r) < \delta이므로 r2>s2−δ=2r^2 > s^2 - \delta = 2 — 즉 rr은 ss보다 작은 SS의 상계이므로 ss가 가장 작은 상한이라는 데 모순입니다.
  5. 따라서 s2=2s^2 = 2입니다. 완비성 공리가 유리수의 '구멍'을 메워 2\sqrt{2}에 해당하는 실수를 만들어냈습니다.

1. 수의 체계