차원과 랭크 | Real Analysis

동형이 "같은 구조"라면, 차원과 랭크는 그 구조의 크기를 재는 자입니다. 격자가 행렬에 눌려 펴지는 모습을 보며

\dim\ker T + \mathrm{rank}\,T = \dim V

를 확인합니다.

예제

$\{(1, 0), (0, 1)\}$ 이 $\mathbb{R}^2$ 의 기저임을 보이세요.

(x, y) = x(1, 0) + y(0, 1)

항등행렬 — 표준기저 벡터를 그대로 보존합니다.

증명 보기

선형독립: $c_1(1, 0) + c_2(0, 1) = (0, 0)$ 이라 하면 좌표별로 $c_1 = 0$ , $c_2 = 0$ 이므로 자명한 결합만 영벡터를 만듭니다.
생성: 임의의 $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ 에 대해 $(x, y) = x(1, 0) + y(0, 1)$ 이므로 두 벡터의 선형결합으로 전체 $\mathbb{R}^2$ 가 만들어집니다.
독립이고 생성하므로 $\{(1, 0), (0, 1)\}$ 은 $\mathbb{R}^2$ 의 기저이며, $\dim \mathbb{R}^2 = 2$ 입니다.

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$ 를 $T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ 로 보고, 랭크와 널리티를 구해 차원–랭크 정리를 확인하세요.

\operatorname{rank} T + \operatorname{nullity} T = 2 + 1 = 3 = \dim \mathbb{R}^3

랭크 1 행렬 — 1차원 핵이 원점으로 접히고 1차원 상이 남습니다.

증명 보기

두 행 $(1, 2, 3)$ 와 $(4, 5, 6)$ 중 어느 것도 다른 하나의 스칼라 배수가 아니므로(예: $4 \cdot (1, 2, 3) = (4, 8, 12) \ne (4, 5, 6)$ ) 두 행은 선형독립입니다. 따라서 행공간(열공간)의 차원인 랭크는 $\operatorname{rank} T = 2$ 입니다.
벡터 $(-1, 2, -1)^T$ 를 대입하면 $1(-1) + 2(2) + 3(-1) = -1 + 4 - 3 = 0$ 이고 $4(-1) + 5(2) + 6(-1) = -4 + 10 - 6 = 0$ 이므로 이는 핵의 0이 아닌 원소입니다. 따라서 $\dim \ker T \ge 1$ 입니다.
랭크 2인 $2 \times 3$ 행렬의 핵은 정확히 1차원입니다(두 독립 방정식이 3차원을 1차원만큼 깎음). 따라서 널리티는 $1$ 이고, $\operatorname{rank} T + \operatorname{nullity} T = 2 + 1 = 3 = \dim \mathbb{R}^3$ 으로 차원–랭크 정리가 성립합니다.

행렬 $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ 의 랭크를 행 축소로 구하고, 열공간의 기저를 찾으세요.

\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 - 2R_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

투영 행렬 — 1차원 핵과 1차원 상을 보여주는 또 다른 랭크 1 예시.

증명 보기

행 연산 $R_2 \to R_2 - 2R_1$ 을 적용하면 행렬은 $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 이 됩니다. 0이 아닌 행이 하나이므로 행공간의 차원, 즉 랭크는 $1$ 입니다.
두 열은 $(2, 4)^T = 2(1, 2)^T$ 이므로 한 열은 다른 열의 스칼라 배수입니다. 열 $(1, 2)^T$ 하나만으로 열공간 전체가 생성됩니다.
따라서 열공간의 기저는 $\{(1, 2)^T\}$ 이고, $\dim$ (열공간) $= 1 =$ 랭크입니다.