이항정리

이항정리 (x+y)n=∑k=0n(nk)xn−kyk(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{n-k}y^k를 귀납법으로 증명한다 — 파스칼의 항등식 (nk)+(nk−1)=(n+1k)\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}=\binom{n+1}{k}이 귀납 단계를 이루고, 파스칼 삼각형의 행 nn을 눈으로 확인한다.

(x+y)n=∑k=0n(nk)xn−kyk(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{n-k}y^k
(nk)+(nk−1)=(n+1k)\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}=\binom{n+1}{k}
∑k=0n(nk)=2n\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} = 2^n

이 씬이 포함된 학습 경로

예제

x,yx, y가 수(실수 또는 복소수)이고 n≥0n \geq 0이 정수일 때, 이항정리 (x+y)n=∑k=0n(nk)xn−kyk(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{n-k}y^k를 nn에 대한 귀납법으로 증명하세요.

(x+y)n=∑k=0n(nk)xn−kyk(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{n-k}y^k
행 n=4n = 4: 1, 4, 6, 4, 11,\ 4,\ 6,\ 4,\ 1 — (x+y)4(x+y)^4 전개식의 계수들.
증명 보기
  1. 먼저 귀납 단계에 쓸 파스칼 항등식 (nk)+(nk−1)=(n+1k)\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}=\binom{n+1}{k} (1≤k≤n1 \leq k \leq n)를 확인합니다. 정의 (nk)=n!k!(n−k)!\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}를 대입하면 n!k!(n−k)!+n!(k−1)!(n−k+1)!\frac{n!}{k!(n-k)!}+\frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}이고, n!(k−1)!(n−k)!\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}로 묶어내면 n!(k−1)!(n−k)!(1k+1n−k+1)=n!(k−1)!(n−k)!⋅n+1k(n−k+1)=(n+1)!k!(n+1−k)!=(n+1k)\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}\left(\frac1k+\frac1{n-k+1}\right) = \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}\cdot\frac{n+1}{k(n-k+1)} = \frac{(n+1)!}{k!(n+1-k)!} = \binom{n+1}{k}입니다.
  2. 기저 n=0n = 0: 좌변은 (x+y)0=1(x+y)^0 = 1이고, 우변은 k=0k=0인 항 하나뿐이라 (00)x0y0=1⋅1⋅1=1\binom{0}{0}x^0y^0 = 1\cdot 1\cdot 1 = 1 — 성립합니다.
  3. nn에서 성립한다고 가정합니다. (x+y)n+1=(x+y)(x+y)n(x+y)^{n+1} = (x+y)(x+y)^n에 귀납 가설을 대입하면 ∑k=0n(nk)xn+1−kyk+∑k=0n(nk)xn−kyk+1\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{n+1-k}y^k + \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{n-k}y^{k+1}을 얻습니다.
  4. 두 번째 합에서 j=k+1j = k+1로 치환하면 ∑j=1n+1(nj−1)xn+1−jyj\sum_{j=1}^{n+1}\binom{n}{j-1}x^{n+1-j}y^j가 됩니다 (첫 번째 합의 kk도 jj로 다시 씁니다). 1≤j≤n1 \leq j \leq n에서 xn+1−jyjx^{n+1-j}y^j의 계수는 (nj)+(nj−1)\binom{n}{j}+\binom{n}{j-1}이며, 파스칼 항등식으로 (n+1j)\binom{n+1}{j}가 됩니다. 경계항은 j=0j=0에서 (n0)=1=(n+10)\binom{n}{0} = 1 = \binom{n+1}{0}, j=n+1j=n+1에서 (nn)=1=(n+1n+1)\binom{n}{n} = 1 = \binom{n+1}{n+1}이므로 전체 합은 ∑j=0n+1(n+1j)xn+1−jyj\sum_{j=0}^{n+1}\binom{n+1}{j}x^{n+1-j}y^j — 정확히 n+1n+1에서의 공식입니다.
  5. 기저와 귀납 단계로 모든 n≥0n \geq 0에서 이항정리가 성립합니다. 핵심은 파스칼 항등식입니다 — 이항계수의 점화식이 (x+y)(x+y)를 한 번 더 곱하는 귀납 단계와 정확히 맞아떨어집니다.

모든 정수 n≥0n \geq 0에 대해 ∑k=0n(nk)=2n\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} = 2^n임을 증명하세요.

∑k=0n(nk)=2n\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} = 2^n
행 n=4n = 4의 합: 1+4+6+4+1=16=241+4+6+4+1 = 16 = 2^4.
증명 보기
  1. 이항정리에 x=1x = 1, y=1y = 1을 대입합니다. 좌변은 (1+1)n=2n(1+1)^n = 2^n이 됩니다.
  2. 우변은 ∑k=0n(nk)1n−k1k=∑k=0n(nk)\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}1^{n-k}1^k = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}입니다 (11의 거듭제곱은 11). 따라서 ∑k=0n(nk)=2n\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} = 2^n — 파스칼 삼각형의 각 행의 합이 22의 거듭제곱이 되는 이유입니다.

모든 정수 n≥1n \geq 1에 대해 ∑k=0n(−1)k(nk)=0\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k} = 0임을 증명하세요.

∑k=0n(−1)k(nk)=0(n≥1)\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k} = 0 \quad (n \geq 1)
행 n=4n = 4: 1−4+6−4+1=01-4+6-4+1 = 0 — 부호를 번갈아 붙이면 합이 사라진다.
증명 보기
  1. 이항정리에 x=1x = 1, y=−1y = -1을 대입합니다. 좌변은 (1+(−1))n=0n(1+(-1))^n = 0^n인데, n≥1n \geq 1이므로 0n=00^n = 0입니다 (n=0n = 0은 000^0이 관례상 11이므로 제외합니다).
  2. 우변은 ∑k=0n(nk)1n−k(−1)k=∑k=0n(−1)k(nk)\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}1^{n-k}(-1)^k = \sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}입니다. 따라서 ∑k=0n(−1)k(nk)=0\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k} = 0 — 파스칼 삼각형의 각 행에 부호를 번갈아 붙이면 합이 00이 됩니다.

1. 수의 체계