최댓값 정리

닫힌 구간 위의 연속함수는 최댓값과 최솟값을 반드시 취합니다.

f(x) = x^3 - 3x

[-2,2]

에서 확인하고, 열린 구간과 불연속 반례로 두 가설이 모두 필요함을 봅니다.

예제

$[0,1]$ 에서 $x^2$ 의 최댓값과 최솟값을 구하고, 각각이 어디서 취해지는지 말하세요.

\max_{[0,1]} x^2 = 1\ \text{at } x = 1, \qquad \min_{[0,1]} x^2 = 0\ \text{at } x = 0

closed 모드 — 세제곱함수가 양쪽 극값을 모두 취하는 것처럼,

x^2

도

[0,1]

에서 양쪽을 모두 취합니다.

증명 보기

$[0,1]$ 에서 $x^2$ 은 증가함수입니다: $0 \leq x_1 < x_2 \leq 1$ 이면 $x_1^2 < x_2^2$ 입니다.
따라서 모든 $x \in [0,1]$ 에 대해 $0 = 0^2 \leq x^2 \leq 1^2 = 1$ 입니다. $\max = 1$ 은 $x = 1$ 에서, $\min = 0$ 은 $x = 0$ 에서 취해집니다.
최댓값 정리(인용)와 일치합니다: $[0,1]$ 은 닫힌 구간이고 $x^2$ 은 연속이므로, 양쪽 극값이 존재해야 합니다.

$(0,1]$ 에서 $f(x) = 1/x$ 가 최댓값을 갖지 않음을 증명하고, 어느 가설이 깨졌는지 말하세요.

f\!\left(\frac{1}{M+1}\right) = M + 1 > M \qquad \forall M

open-interval 모드 — 곡선이 위로 끝없이 빠져나갑니다.

증명 보기

$M$ 이 최댓값이라 가정합니다. $M < 0$ 이면 $f(1) = 1 > M$ 이므로 이미 모순입니다. $M \geq 0$ 인 경우, $x = \frac{1}{M+1}$ 이라 두면 $0 < x \leq 1$ 이므로 $x \in (0,1]$ 이고, $f(x) = M + 1 > M$ — 모순입니다.
따라서 어떤 $M$ 도 상계가 될 수 없고, $f$ 는 위로 비유계이므로 최댓값은 존재하지 않습니다.
깨진 가설은 정의역의 닫힘성입니다: $(0,1]$ 은 닫힌 구간이 아닙니다. $x \to 0^+$ 로 가면 $f$ 가 발산할 "도망갈 구멍"이 열려 있습니다.

$f(x) = x$ ( $[0,1)$ 에서), $f(1) = 0$ 이라 할 때 $\sup f = 1$ 이지만 $1$ 이 취해지지 않음을 증명하고, 어느 가설이 깨졌는지 말하세요.

\sup_{[0,1]} f = 1 \notin f([0,1])

discontinuous 모드 — 값

1

에 다가서지만 절대 닿지 않습니다.

증명 보기

$x \in [0,1)$ 이면 $f(x) = x < 1$ 이고, $f(1) = 0$ 입니다. 따라서 모든 $x$ 에 대해 $f(x) < 1$ — 값 $1$ 을 취하는 점은 없습니다.
$\sup = 1$ : $1$ 은 상계입니다( $f(x) < 1$ 이므로). $u < 1$ 인 임의의 실수에 대해 $f(x) > u$ 인 $x \in [0,1)$ 를 만듭니다. $u < 0$ 이면 $x = 0$ 으로 두면 $f(0) = 0 > u$ 입니다. $0 \le u < 1$ 이면 $x = \frac{u+1}{2}$ 로 두면 $u \le \frac{u+1}{2} < 1$ 이므로 $x \in [0,1)$ 이고 $f(x) = \frac{u+1}{2} > u$ 입니다. (주의: $u < -1$ 에서는 $\frac{u+1}{2} < 0$ 이 되어 $[0,1)$ 밖에 떨어지므로, 그 구간에서는 $x = 0$ 이 필요합니다.) 따라서 $1$ 보다 작은 수는 상계가 아니고, 최소상계는 $1$ 입니다.
깨진 가설은 $x = 1$ 에서의 연속성입니다: 좌극한은 $1$ 이지만 $f(1) = 0$ 입니다. 닫힌 구간 위에서도 연속성이 빠지면 최댓값이 "도달되지 않는 상한"으로 남을 수 있습니다.