르베그 측도

외측도는 집합을 덮는 가산 구간 덮개 중 가장 싼 값입니다. 한 점은 물론 유리수 전체도 비용이 0으로 떨어집니다. 가측집합과 가산 가법성은 Carathéodory 구성 너머의 이야기입니다 (아이디어 수준).

예제

외측도 $m^*(\{x\}) = 0$ 임을 증명하세요.

m^*(\{x\}) \leq \varepsilon

\{0.5\}

— 길이

\varepsilon = 0.1

인 구간 하나로 덮습니다.

증명 보기

임의의 $\varepsilon > 0$ 에 대해 구간 $(x - \varepsilon/2,\, x + \varepsilon/2)$ 는 $\{x\}$ 의 가산 구간 덮개이며 총길이는 $\varepsilon$ 이다.
$m^*$ 는 모든 덮개의 총길이에 대한 하한(infimum)이므로 $m^*(\{x\}) \le \varepsilon$ 이다.
$\varepsilon > 0$ 이 임의였으므로 $m^*(\{x\}) = 0$ 이다. 한 점은 외측도가 0이다.

$m^*(\mathbb{Q}\cap[0,1]) = 0$ 임을 증명하세요.

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varepsilon}{2^n} = \varepsilon

\mathbb{Q}\cap[0,1]

—

k

번째 유리수를 길이

\varepsilon/2^{k+1}

인 구간으로 덮습니다 (총길이

<\varepsilon

증명 보기

$\mathbb{Q}\cap[0,1]$ 은 가산집합이므로 $\{q_1, q_2, \dots\}$ 로 열거할 수 있다. 임의의 $\varepsilon > 0$ 을 잡자.
각 $q_n$ 을 중심으로 길이가 $\varepsilon/2^n$ 인 구간 $I_n$ 으로 덮자. $\{I_n\}$ 은 $\mathbb{Q}\cap[0,1]$ 의 가산 구간 덮개이며, 총길이는 $\sum_{n=1}^{\infty} \varepsilon/2^n = \varepsilon$ 이다.
따라서 $m^*(\mathbb{Q}\cap[0,1]) \le \varepsilon$ 이고, $\varepsilon$ 이 임의이므로 $m^*(\mathbb{Q}\cap[0,1]) = 0$ 이다. 가산집합은 외측도가 0이다.

$A \subseteq B \implies m^*(A) \leq m^*(B)$ 임을 증명하세요.

\mathbb{Q}\cap[0,1] \subseteq [0,1]

— 작은 집합의 덮개 총길이는

\varepsilon = 0.05

아래로 떨어집니다.

증명 보기

$A \subseteq B$ 라 하자. $B$ 의 가산 구간 덮개 $\{I_n\}$ 는 $A$ 도 덮는다: 각 $I_n$ 은 구간이므로 합집합 $\bigcup_n I_n$ 은 $B$ 를 포함하고, 따라서 $A$ 도 포함한다.
따라서 $B$ 의 덮개들의 모임은 $A$ 의 덮개들의 모임에 포함된다. 하한(infimum)은 더 큰 모임에서 더 작아지므로 $m^*(A) \le m^*(B)$ 이다.
특히 $\mathbb{Q}\cap[0,1] \subseteq [0,1]$ 이므로 $m^*(\mathbb{Q}\cap[0,1]) = 0 \le 1 = m^*([0,1])$ 이다. 외측도는 단조적이다.