르벡 수렴 정리

단조수렴·파투·지배수렴 — 극한과 적분의 순서를 바꾸는 세 기둥입니다. 질량이 도망가는(escape·spike) 예에서 가설이 왜 필요한지 눈으로 확인하세요.

fn↑f⇒∫fn↑∫ff_n \uparrow f \Rightarrow \int f_n \uparrow \int f
∫lim inf⁡fn≤lim inf⁡∫fn\int \liminf f_n \le \liminf \int f_n
∣fn∣≤g, fn→f a.e. ⇒∫fn→∫f|f_n| \le g,\ f_n \to f \text{ a.e. } \Rightarrow \int f_n \to \int f

예제

스파이크 수열 fn=n 1[0,1/n]f_n = n\,\mathbf{1}_{[0,1/n]}에 대해 파투 보조정리의 양변 ∫lim inf⁡fn\int \liminf f_n과 lim inf⁡∫fn\liminf \int f_n을 직접 계산하고, 부등식이 엄격함을 보이세요.

∫fn=n⋅1n=1∀n\int f_n = n \cdot \frac{1}{n} = 1 \quad \forall n
∫lim inf⁡n→∞fn=0<1=lim inf⁡n→∞∫fn\int \liminf_{n \to \infty} f_n = 0 < 1 = \liminf_{n \to \infty} \int f_n
f10=10 1[0,1/10]f_{10} = 10\,\mathbf{1}_{[0,1/10]}: ∫f10=1\int f_{10} = 1이지만 점별 극한은 00이므로 ∫lim inf⁡fn=0\int \liminf f_n = 0 — 파투 부등식이 엄격합니다.
증명 보기
  1. 각 fnf_n은 [0,1/n][0, 1/n]에서 값이 nn이고 나머지는 00인 계단함수이므로, ∫fn=n⋅m([0,1/n])=n⋅1n=1\int f_n = n \cdot m([0, 1/n]) = n \cdot \frac{1}{n} = 1입니다 — 모든 nn에 대해 같습니다. 따라서 lim inf⁡n→∞∫fn=1\liminf_{n \to \infty} \int f_n = 1입니다.
  2. 점별 lim inf⁡\liminf를 봅니다. x>0x > 0이면 n>1/xn > 1/x부터 1/n<x1/n < x이므로 fn(x)=0f_n(x) = 0 — 따라서 lim inf⁡nfn(x)=0\liminf_n f_n(x) = 0입니다. x=0x = 0에서는 fn(0)=n→∞f_n(0) = n \to \infty이므로 lim inf⁡\liminf가 ∞\infty이지만, 한 점은 측도가 00인 집합이라 적분에 영향을 주지 않습니다. 즉 lim inf⁡nfn=0\liminf_n f_n = 0 a.e.이고 ∫lim inf⁡nfn=0\int \liminf_n f_n = 0입니다.
  3. 따라서 0=∫lim inf⁡fn<lim inf⁡∫fn=10 = \int \liminf f_n < \liminf \int f_n = 1 — 파투 부등식 ∫lim inf⁡fn≤lim inf⁡∫fn\int \liminf f_n \le \liminf \int f_n이 엄격한 부등식으로 성립합니다. 질량이 한 점으로 모였다가 극한에서 사라졌기 때문입니다. 이 증명은 이 구체적인 수열에 대한 것으로, 일반 파투 보조정리의 증명이 아니라 그 정리를 완전히 계산 가능한 경우에 확인한 것입니다.

단조 수열 fn=1[0,1−1/n]f_n = \mathbf{1}_{[0,1-1/n]}이 f=1[0,1)f = \mathbf{1}_{[0,1)}로 증가함을 보이고, ∫fn↑∫f\int f_n \uparrow \int f를 명시적인 수로 증명하세요.

0≤fn≤fn+1,fn(x)↑1[0,1)(x)0 \le f_n \le f_{n+1}, \quad f_n(x) \uparrow \mathbf{1}_{[0,1)}(x)
∫fn=1−1n↑1=∫lim⁡fn\int f_n = 1 - \frac{1}{n} \uparrow 1 = \int \lim f_n
n=10n = 10: ∫f10=1−110=0.9\int f_{10} = 1 - \frac{1}{10} = 0.9가 11을 향해 증가하고, 점별 극한 1[0,1)\mathbf{1}_{[0,1)}의 적분은 11입니다.
증명 보기
  1. 1−1n1 - \frac{1}{n}이 증가하므로 [0,1−1n]⊂[0,1−1n+1][0, 1-\frac{1}{n}] \subset [0, 1-\frac{1}{n+1}]이고, 따라서 0≤fn≤fn+10 \le f_n \le f_{n+1}입니다 — 단조 증가하는 음이 아닌 가측함수열입니다.
  2. 점별 극한: x<1x < 1이면 언젠가 1−1n>x1 - \frac{1}{n} > x가 되어 fn(x)=1f_n(x) = 1이므로 극한은 11입니다. x≥1x \ge 1이면 모든 nn에서 fn(x)=0f_n(x) = 0이므로 극한은 00입니다. 즉 fn↑1[0,1)f_n \uparrow \mathbf{1}_{[0,1)} pointwise입니다.
  3. ∫fn=m([0,1−1n])=1−1n↑1\int f_n = m([0, 1-\frac{1}{n}]) = 1 - \frac{1}{n} \uparrow 1이고, ∫lim⁡fn=m([0,1))=1\int \lim f_n = m([0, 1)) = 1이므로 ∫fn↑∫f\int f_n \uparrow \int f가 등식으로 성립합니다 — 단조수렴정리가 이 수열에서 그대로 확인됩니다. 질량이 도망가지도, 한 점으로 모이지도 않았기 때문입니다. 이 증명은 이 구체적인 수열에 대한 것으로, 일반 단조수렴정리의 증명이 아닙니다.

이탈 수열 fn=1[n,n+1]f_n = \mathbf{1}_{[n,n+1]} ([0,∞)[0, \infty) 위)에 대해, 모든 fnf_n을 지배하는 적분 가능한 함수 gg가 존재하지 않음을 증명하고, 그래서 지배수렴정리를 적용할 수 없음을 보이세요.

∫fn=1  ∀n,lim⁡n→∞fn=0 pointwise,∫lim⁡fn=0\int f_n = 1 \;\forall n, \quad \lim_{n \to \infty} f_n = 0 \text{ pointwise}, \quad \int \lim f_n = 0
g≥fn  ∀n  ⇒  g≥1 on [1,∞)  ⇒  ∫g=∞g \ge f_n \;\forall n \;\Rightarrow\; g \ge 1 \text{ on } [1, \infty) \;\Rightarrow\; \int g = \infty
n=3n = 3: 스파이크 [3,4][3, 4]는 [0,2][0, 2] 창 밖에 있습니다. ∫f3=1\int f_3 = 1이지만 ∫lim⁡fn=0\int \lim f_n = 0 — 질량은 이미 무한대를 향해 떠났습니다.
증명 보기
  1. ∫fn=m([n,n+1])=1\int f_n = m([n, n+1]) = 1 (모든 nn). 고정된 x≥0x \ge 0에 대해 n>xn > x이면 x∉[n,n+1]x \notin [n, n+1]이므로 fn(x)=0f_n(x) = 0 — 점별 극한은 00이고 ∫lim⁡fn=0≠1=lim⁡∫fn\int \lim f_n = 0 \ne 1 = \lim \int f_n입니다.
  2. 이제 ∣fn∣≤g|f_n| \le g (모든 nn)인 적분 가능한 g≥0g \ge 0가 있다고 가정합니다. 각 nn에 대해 g≥fn=1[n,n+1]g \ge f_n = \mathbf{1}_{[n,n+1]}이므로, [n,n+1][n, n+1] 위에서 g≥1g \ge 1입니다. 모든 n≥1n \ge 1에 대해 합치면 [1,∞)=⋃n≥1[n,n+1][1, \infty) = \bigcup_{n \ge 1} [n, n+1] 위에서 g≥1g \ge 1 — 따라서 ∫0∞g≥∫1∞1=∞\int_0^\infty g \ge \int_1^\infty 1 = \infty로, gg는 적분 가능하지 않습니다. 모순입니다.
  3. 따라서 이 수열을 지배하는 적분 가능한 함수는 존재하지 않습니다 — 지배수렴정리의 핵심 가정이 깨진 것이고, 그래서 lim⁡∫fn≠∫lim⁡fn\lim \int f_n \ne \int \lim f_n이 가능한 것입니다. 질량이 무한대로 도망가면 적분은 극한과 "소통"하지 않습니다. 이 증명은 이 구체적인 수열에 대한 것으로, 일반 지배수렴정리의 증명이 아닙니다.

10. 적분