부분적분

곱의 미분법칙을 적분하면 ∫u dv=[uv]−∫v du\int u\,dv = [uv] - \int v\,du — 면적을 두 조각으로 나누어 각각 계산합니다. bb를 움직이면 양변이 소수점 아래로 일치합니다.

∫abu dv=[uv]ab−∫abv du\int_a^b u\,dv = [uv]_a^b - \int_a^b v\,du
∫xex dx=(x−1)ex+C\int x e^x\,dx = (x-1)e^x + C

예제

부분적분을 완전히 증명하세요: u,vu, v가 [a,b][a,b]에서 C1C^1이면 ∫abu dv=[uv]ab−∫abv du\int_a^b u\,dv = [uv]_a^b - \int_a^b v\,du입니다. 곱의 미분법칙 (uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv'를 적분하고 미적분학 기본정리를 적용하세요.

∫abu(x) v′(x) dx=[u(x) v(x)]ab−∫abv(x) u′(x) dx\int_a^b u(x)\,v'(x)\,dx = \bigl[u(x)\,v(x)\bigr]_a^b - \int_a^b v(x)\,u'(x)\,dx
u=xu = x, dv=ex dxdv = e^x\,dx: LHS ≈8.389056099\approx 8.389056099, [uv]02−∫02v du≈2e2−(e2−1)[uv]_0^2 - \int_0^2 v\,du \approx 2e^2 - (e^2 - 1)도 같은 값 — 그림의 윗넓이가 [uv]0b[uv]_0^b에서 아랫넓이를 뺀 것과 같습니다.
증명 보기
  1. u,vu, v가 C1C^1이므로 u′,v′u', v'는 연속이고, 곱 uvuv도 C1C^1이며 (uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv'입니다 (곱의 미분법칙). 우변의 각 항 u′vu'v와 uv′uv'는 연속함수의 곱이므로 연속 — 따라서 [a,b][a,b]에서 적분가능합니다.
  2. 등식 (uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv'의 양변을 [a,b][a,b]에서 적분합니다: ∫ab(uv)′ dx=∫abu′v dx+∫abuv′ dx\int_a^b (uv)'\,dx = \int_a^b u'v\,dx + \int_a^b uv'\,dx. 좌변에 미적분학 기본정리(FTC)를 적용하면 ∫ab(uv)′ dx=[uv]ab\int_a^b (uv)'\,dx = [uv]_a^b입니다.
  3. 따라서 [uv]ab=∫abu′v dx+∫abuv′ dx[uv]_a^b = \int_a^b u'v\,dx + \int_a^b uv'\,dx이고, ∫abu′v dx\int_a^b u'v\,dx를 이항하면 ∫abuv′ dx=[uv]ab−∫abu′v dx\int_a^b uv'\,dx = [uv]_a^b - \int_a^b u'v\,dx — 즉 ∫abu dv=[uv]ab−∫abv du\int_a^b u\,dv = [uv]_a^b - \int_a^b v\,du입니다. 증명 완료. (Tao 명제 11.10.1.)

∫xex dx=(x−1)ex+C\int x e^x\,dx = (x-1)e^x + C를 부분적분으로 완전히 계산하고, 답을 다시 미분해서 검증하세요.

∫xex dx=(x−1)ex+C,ddx[(x−1)ex]=xex\int x e^x\,dx = (x-1)e^x + C, \qquad \frac{d}{dx}\bigl[(x-1)e^x\bigr] = x e^x
b=2b = 2: ∫02xex dx=(2−1)e2+1=e2+1≈8.389056099\int_0^2 x e^x\,dx = (2-1)e^2 + 1 = e^2 + 1 \approx 8.389056099 — 씬의 닫힌 꼴과 일치합니다.
증명 보기
  1. u=xu = x, dv=ex dxdv = e^x\,dx라 두면 du=dxdu = dx, v=exv = e^x입니다. 부분적분 공식에 대입하면 ∫xex dx=xex−∫ex dx=xex−ex+C=(x−1)ex+C\int x e^x\,dx = x e^x - \int e^x\,dx = x e^x - e^x + C = (x-1)e^x + C입니다.
  2. 검증 (역미분): ddx[(x−1)ex]=1⋅ex+(x−1)ex=xex\frac{d}{dx}[(x-1)e^x] = 1\cdot e^x + (x-1)e^x = x e^x (곱의 미분법칙) — 원래 피적분함수와 일치하므로 부정적분이 맞습니다. 정적분으로는 ∫02xex dx=[(x−1)ex]02=e2−(−1)=e2+1≈8.389056099\int_0^2 x e^x\,dx = [(x-1)e^x]_0^2 = e^2 - (-1) = e^2 + 1 \approx 8.389056099입니다.

In=∫0π/2sin⁡nx dxI_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n x\,dx가 점화식 In=n−1n In−2I_n = \frac{n-1}{n}\,I_{n-2}를 만족함을 부분적분으로 완전히 유도하세요 (u=sin⁡n−1xu = \sin^{n-1}x, dv=sin⁡x dxdv = \sin x\,dx). 그리고 I0=π2I_0 = \frac{\pi}{2}, I1=1I_1 = 1을 계산하세요.

In=n−1n In−2,I0=π2,I1=1I_n = \frac{n-1}{n}\,I_{n-2}, \qquad I_0 = \frac{\pi}{2}, \quad I_1 = 1
I2=π4,I3=23,I4=3π16I_2 = \frac{\pi}{4}, \quad I_3 = \frac{2}{3}, \quad I_4 = \frac{3\pi}{16}
삼각함수 쌍 예시: u=xu = x, dv=sin⁡x dxdv = \sin x\,dx이면 v=−cos⁡xv = -\cos x이고 ∫0bxsin⁡x dx=−bcos⁡b+sin⁡b\int_0^b x\sin x\,dx = -b\cos b + \sin b — 같은 부분적분 구조가 점화식을 낳습니다.
증명 보기
  1. n≥2n \ge 2에 대해 In=∫0π/2sin⁡n−1x⋅sin⁡x dxI_n = \int_0^{\pi/2} \sin^{n-1}x \cdot \sin x\,dx에 u=sin⁡n−1xu = \sin^{n-1}x, dv=sin⁡x dxdv = \sin x\,dx를 적용합니다: du=(n−1)sin⁡n−2xcos⁡x dxdu = (n-1)\sin^{n-2}x\cos x\,dx, v=−cos⁡xv = -\cos x. 부분적분하면 In=[−cos⁡x sin⁡n−1x]0π/2+(n−1)∫0π/2sin⁡n−2x cos⁡2x dxI_n = [-\cos x\,\sin^{n-1}x]_0^{\pi/2} + (n-1)\int_0^{\pi/2} \sin^{n-2}x\,\cos^2 x\,dx입니다.
  2. 경계항: x=π/2x = \pi/2에서 cos⁡=0\cos = 0, x=0x = 0에서 sin⁡=0\sin = 0 (단 n−1≥1n - 1 \ge 1)이므로 0입니다. cos⁡2x=1−sin⁡2x\cos^2 x = 1 - \sin^2 x를 대입하면 In=(n−1)∫0π/2(sin⁡n−2x−sin⁡nx) dx=(n−1)(In−2−In)I_n = (n-1)\int_0^{\pi/2} (\sin^{n-2}x - \sin^n x)\,dx = (n-1)(I_{n-2} - I_n)입니다. 정리하면 n In=(n−1) In−2n\,I_n = (n-1)\,I_{n-2}, 즉 In=n−1n In−2I_n = \frac{n-1}{n}\,I_{n-2}입니다.
  3. 기저: I0=∫0π/21 dx=π2I_0 = \int_0^{\pi/2} 1\,dx = \frac{\pi}{2}, I1=∫0π/2sin⁡x dx=[−cos⁡x]0π/2=1I_1 = \int_0^{\pi/2} \sin x\,dx = [-\cos x]_0^{\pi/2} = 1입니다. 점화식으로 I2=12⋅π2=π4I_2 = \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}, I3=23⋅1=23I_3 = \frac{2}{3}\cdot 1 = \frac{2}{3}, I4=34⋅π4=3π16I_4 = \frac{3}{4}\cdot\frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{16} — Wallis 적분의 출발점입니다.

10. 적분