감마함수

팩토리얼을 실수로 늘인 함수 — Γ(x+1)=xΓ(x)\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)라서 Γ(n+1)=n!\Gamma(n+1) = n!입니다. x>0x > 0에서 이상적분이 수렴함을 확인합니다.

Γ(x)=∫0∞tx−1e−t dt(x>0)\Gamma(x) = \int_0^\infty t^{x-1} e^{-t}\,dt \quad (x > 0)
Γ(x+1)=x Γ(x)\Gamma(x+1) = x\,\Gamma(x)

이 씬이 포함된 학습 경로

예제

Γ(x+1)=xΓ(x)\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)를 부분적분으로 증명하세요.

Γ(x+1)=∫0∞txe−t dt=x Γ(x)\Gamma(x+1) = \int_0^\infty t^x e^{-t}\,dt = x\,\Gamma(x)
x=2.5x = 2.5 — Γ(3.5)=2.5 Γ(2.5)\Gamma(3.5) = 2.5\,\Gamma(2.5).
증명 보기
  1. u=txu = t^x, dv=e−t dtdv = e^{-t}\,dt로 두면 du=xtx−1 dtdu = x t^{x-1}\,dt, v=−e−tv = -e^{-t}입니다. 부분적분을 하면 Γ(x+1)=[−txe−t]0∞+x∫0∞tx−1e−t dt\Gamma(x+1) = \left[-t^x e^{-t}\right]_0^\infty + x \int_0^\infty t^{x-1} e^{-t}\,dt를 얻습니다.
  2. 경계항이 사라집니다: x>0x > 0이므로 t→0+t \to 0^+에서 tx→0t^x \to 0이고, t→∞t \to \infty에서 txe−t→0t^x e^{-t} \to 0입니다 (지수함수가 다항식보다 빠르게 감소합니다). 따라서 [−txe−t]0∞=0\left[-t^x e^{-t}\right]_0^\infty = 0입니다.
  3. 따라서 Γ(x+1)=x∫0∞tx−1e−t dt=x Γ(x)\Gamma(x+1) = x \int_0^\infty t^{x-1} e^{-t}\,dt = x\,\Gamma(x)입니다.

Γ(1)=1\Gamma(1) = 1임을 보이고, 이로부터 Γ(n+1)=n!\Gamma(n+1) = n!을 증명하세요.

Γ(1)=∫0∞e−t dt=1,Γ(n+1)=n!\Gamma(1) = \int_0^\infty e^{-t}\,dt = 1, \quad \Gamma(n+1) = n!
x=1x = 1 — Γ(1)=1\Gamma(1) = 1.
증명 보기
  1. Γ(1)=∫0∞e−t dt=[−e−t]0∞=0−(−1)=1\Gamma(1) = \int_0^\infty e^{-t}\,dt = \left[-e^{-t}\right]_0^\infty = 0 - (-1) = 1입니다.
  2. 앞 문제의 함수방정식으로 귀납법을 적용합니다. n=0n = 0일 때 Γ(1)=0!\Gamma(1) = 0!이 성립합니다.
  3. Γ(n)=(n−1)!\Gamma(n) = (n-1)!이라 가정하면 Γ(n+1)=n Γ(n)=n (n−1)!=n!\Gamma(n+1) = n\,\Gamma(n) = n\,(n-1)! = n!입니다. 따라서 모든 자연수 nn에 대해 Γ(n+1)=n!\Gamma(n+1) = n!입니다.

Γ(x)\Gamma(x)를 정의하는 이상적분이 모든 x>0x > 0에서 수렴함을 증명하세요.

∫01tx−1e−t dt≤∫01tx−1 dt=1x\int_0^1 t^{x-1}e^{-t}\,dt \le \int_0^1 t^{x-1}\,dt = \frac1x
x=0.5x = 0.5 — 0 근처에서도 수렴.
증명 보기
  1. 적분을 t=1t = 1에서 둘로 나눕니다. (0,1](0, 1]에서는 e−t≤1e^{-t} \leq 1이므로 0<tx−1e−t≤tx−10 < t^{x-1}e^{-t} \leq t^{x-1}입니다. ∫01tx−1 dt=1x\int_0^1 t^{x-1}\,dt = \frac1x는 x>0x > 0일 때 유한하므로, 비교판정법으로 ∫01tx−1e−t dt\int_0^1 t^{x-1}e^{-t}\,dt가 수렴합니다.
  2. [1,∞)[1, \infty)에서는 tx−1e−t=(tx−1e−t/2) e−t/2t^{x-1}e^{-t} = \bigl(t^{x-1}e^{-t/2}\bigr)\,e^{-t/2}라 씁니다. M=max⁡t≥1tx−1e−t/2<∞M = \max_{t \geq 1} t^{x-1}e^{-t/2} < \infty (연속함수이며 t→∞t \to \infty에서 00으로 갑니다)이므로 tx−1e−t≤Me−t/2t^{x-1}e^{-t} \leq M e^{-t/2}입니다.
  3. ∫1∞e−t/2 dt=2<∞\int_1^\infty e^{-t/2}\,dt = 2 < \infty이므로 비교판정법으로 ∫1∞tx−1e−t dt\int_1^\infty t^{x-1}e^{-t}\,dt가 수렴합니다. 두 구간 모두 수렴하므로 Γ(x)\Gamma(x)는 모든 x>0x > 0에서 잘 정의됩니다.

10. 적분