적분기호 아래에서의 미분

F(x)=∫01tx dt=1x+1F(x) = \int_0^1 t^x\,dt = \frac{1}{x+1} — 곡선 위의 점과 접선을 움직이며, 적분기호 안에서 미분한 ∫01txln⁡t dt\int_0^1 t^x \ln t\,dt가 접선의 기울기 −1(x+1)2-\frac{1}{(x+1)^2}와 일치함을 수치로 확인합니다.

ddx∫01tx dt=∫01txln⁡t dt=−1(x+1)2\frac{d}{dx}\int_0^1 t^x\,dt = \int_0^1 t^x \ln t\,dt = -\frac{1}{(x+1)^2}

예제

x>0x > 0에 대해 F(x)=∫01tx dtF(x) = \int_0^1 t^x\,dt라 하세요. 직접 계산으로 F(x)=1x+1F(x) = \frac{1}{x+1}이고 F′(x)=−1(x+1)2F'(x) = -\frac{1}{(x+1)^2}임을 보이고, 적분기호 아래에서 미분한 ∫01txln⁡t dt\int_0^1 t^x \ln t\,dt를 직접 계산(치환적분)하여 같은 값 −1(x+1)2-\frac{1}{(x+1)^2}이 됨을 완전히 증명하세요.

F(x)=1x+1,F′(x)=−1(x+1)2=∫01txln⁡t dtF(x) = \frac{1}{x+1}, \qquad F'(x) = -\frac{1}{(x+1)^2} = \int_0^1 t^x \ln t\,dt
x=1x = 1, n=200n = 200: 수치적분 ∫01t dt=0.5\int_0^1 t\,dt = 0.5 (해석값 12\frac12과 일치), ∫01tln⁡t dt≈−0.24999807\int_0^1 t\ln t\,dt \approx -0.24999807 — 해석값 −14-\frac14과의 오차 2×10−62 \times 10^{-6} 이내.
증명 보기
  1. x>0x > 0을 고정합니다. t∈(0,1]t \in (0, 1]에서 txt^x의 부정적분은 tx+1x+1\frac{t^{x+1}}{x+1}이고, x+1>0x + 1 > 0이므로 t→0+t \to 0^+에서 tx+1→0t^{x+1} \to 0입니다. 따라서 F(x)=∫01tx dt=[tx+1x+1]01=1x+1F(x) = \int_0^1 t^x\,dt = \left[\frac{t^{x+1}}{x+1}\right]_0^1 = \frac{1}{x+1}입니다. 이를 xx로 미분하면 F′(x)=−1(x+1)2F'(x) = -\frac{1}{(x+1)^2}입니다.
  2. 이제 적분기호 아래에서 미분합니다. t∈(0,1]t \in (0, 1]에서 ∂∂xtx=txln⁡t\frac{\partial}{\partial x} t^x = t^x \ln t입니다 (tx=exln⁡tt^x = e^{x \ln t}를 미분). t=0t = 0에서는 피적분함수를 00으로 정의합니다 — x>0x > 0일 때 lim⁡t→0+txln⁡t=0\lim_{t \to 0^+} t^x \ln t = 0이기 때문입니다.
  3. ∫01txln⁡t dt\int_0^1 t^x \ln t\,dt를 치환 u=−(x+1)ln⁡tu = -(x+1)\ln t로 계산합니다. t∈(0,1]t \in (0, 1]일 때 u∈[0,∞)u \in [0, \infty)이고, t=e−u/(x+1)t = e^{-u/(x+1)}, dt=−1x+1e−u/(x+1) dudt = -\frac{1}{x+1}e^{-u/(x+1)}\,du입니다. 따라서 txln⁡t dt=ue−u(x+1)2 dut^x \ln t\,dt = \frac{u e^{-u}}{(x+1)^2}\,du이고, ∫01txln⁡t dt=−1(x+1)2∫0∞ue−u du\int_0^1 t^x \ln t\,dt = -\frac{1}{(x+1)^2}\int_0^\infty u e^{-u}\,du입니다. 부분적분으로 ∫0∞ue−u du=[−ue−u]0∞+∫0∞e−u du=0+1=1\int_0^\infty u e^{-u}\,du = \left[-u e^{-u}\right]_0^\infty + \int_0^\infty e^{-u}\,du = 0 + 1 = 1이므로, 적분기호 아래 미분한 값은 −1(x+1)2-\frac{1}{(x+1)^2} — 직접 미분한 F′(x)F'(x)와 정확히 일치합니다.
  4. 수치로 확인합니다: x=1x = 1에서 해석값은 F(1)=12F(1) = \frac12, F′(1)=−14F'(1) = -\frac14입니다. 씬에서 n=200n = 200으로 심슨 공식을 돌리면 ∫01t dt=0.5\int_0^1 t\,dt = 0.5가 정확히 나오고, ∫01tln⁡t dt\int_0^1 t\ln t\,dt는 −14-\frac14과의 오차가 2×10−62 \times 10^{-6} 이내입니다 — 세 추정값이 한 점으로 모입니다.

f(t,x)=txf(t, x) = t^x, ∂f∂x(t,x)=txln⁡t\frac{\partial f}{\partial x}(t, x) = t^x \ln t (t∈[0,1]t \in [0, 1], t=0t = 0에서는 값을 00으로 정의)라 하세요. 0<δ<A0 < \delta < A에 대해 ff와 ∂f∂x\frac{\partial f}{\partial x}가 직사각형 [δ,A]×[0,1][\delta, A] \times [0, 1] 위에서 연속임을 보이고, 이를 이용해 모든 x>0x > 0에서 F′(x)=∫01txln⁡t dtF'(x) = \int_0^1 t^x \ln t\,dt임을 엄밀히 증명하세요.

f,fx continuous on [δ,A]×[0,1]  ⇒  ddx∫01f dt=∫01fx dtf, f_x \text{ continuous on } [\delta, A] \times [0, 1] \;\Rightarrow\; \frac{d}{dx}\int_0^1 f\,dt = \int_0^1 f_x\,dt
∣txln⁡t∣≤tδ ∣ln⁡t∣→t→0+0(x≥δ>0)\left|t^x \ln t\right| \le t^{\delta}\,|\ln t| \xrightarrow[t \to 0^+]{} 0 \quad (x \ge \delta > 0)
x=2x = 2, n=200n = 200: ∫01t2ln⁡t dt\int_0^1 t^2 \ln t\,dt의 수치값과 −19-\frac19의 오차가 10−810^{-8} 이내 — [1,4]×[0,1][1, 4] \times [0, 1] 위의 연속성이 보장하는 일치입니다.
증명 보기
  1. 먼저 연속성을 확인합니다. t>0t > 0에서는 tx=exln⁡tt^x = e^{x\ln t}가 (t,x)(t, x)의 연속함수이므로 ff와 fxf_x 모두 연속입니다. t=0t = 0에서는 값을 00으로 정의했는데, x≥δ>0x \ge \delta > 0일 때 ∣txln⁡t∣=tx∣ln⁡t∣≤tδ∣ln⁡t∣|t^x \ln t| = t^x |\ln t| \le t^{\delta}|\ln t|이고 tδ∣ln⁡t∣→0t^{\delta}|\ln t| \to 0 (t→0+t \to 0^+)이므로, t=0t = 0에서의 극한도 00 — 그것도 x∈[δ,A]x \in [\delta, A]에 대해 균등하게 성립합니다. 따라서 ff와 fxf_x는 컴팩트 직사각형 [δ,A]×[0,1][\delta, A] \times [0, 1] 위에서 연속입니다.
  2. 이제 정리를 증명합니다: ff, fxf_x가 [a,b]×[c,d][a, b] \times [c, d] 위에서 연속이면 F(x)=∫cdf(t,x) dtF(x) = \int_c^d f(t, x)\,dt는 미분가능하고 F′(x0)=∫cdfx(t,x0) dtF'(x_0) = \int_c^d f_x(t, x_0)\,dt입니다. 차분몫을 쓰면 F(x0+h)−F(x0)h=∫cdf(t,x0+h)−f(t,x0)h dt\frac{F(x_0+h) - F(x_0)}{h} = \int_c^d \frac{f(t, x_0+h) - f(t, x_0)}{h}\,dt입니다. xx에 대한 평균값 정리로, 각 tt마다 f(t,x0+h)−f(t,x0)h=fx(t,ξh,t)\frac{f(t, x_0+h) - f(t, x_0)}{h} = f_x(t, \xi_{h,t})인 ξh,t\xi_{h,t} (x0x_0과 x0+hx_0+h 사이)가 있습니다. fxf_x가 컴팩트 직사각형 위에서 균등연속이므로 h→0h \to 0일 때 fx(t,ξh,t)→fx(t,x0)f_x(t, \xi_{h,t}) \to f_x(t, x_0)이 tt에 대해 균등하게 성립합니다. 따라서 ∣F(x0+h)−F(x0)h−∫cdfx(t,x0) dt∣≤(d−c)sup⁡t∣fx(t,ξh,t)−fx(t,x0)∣→0\left|\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h} - \int_c^d f_x(t, x_0)\,dt\right| \le (d-c)\sup_t |f_x(t, \xi_{h,t}) - f_x(t, x_0)| \to 0 — 적분과 극한의 교환이 정당화됩니다.
  3. 임의의 x0>0x_0 > 0에 대해 δ=x0/2\delta = x_0/2, A=2x0A = 2x_0으로 두면 x0x_0은 [δ,A][\delta, A]의 내점입니다. 1단계의 연속성과 2단계의 정리로부터 F′(x0)=∫01tx0ln⁡t dtF'(x_0) = \int_0^1 t^{x_0}\ln t\,dt이고, 문제 1의 직접 계산으로 이 값은 −1(x0+1)2-\frac{1}{(x_0+1)^2}입니다. 즉 씬에서 세 추정값이 모이는 것은 우연이 아니라, 컴팩트 직사각형 위의 균등연속성이 강제하는 필연입니다.
  4. 수치로 확인합니다: x=2x = 2에서 해석값은 F(2)=13F(2) = \frac13, F′(2)=−19F'(2) = -\frac19입니다. n=200n = 200일 때 ∫01t2ln⁡t dt\int_0^1 t^2 \ln t\,dt의 심슨 근사 오차는 10−810^{-8} 이내입니다. t=0t = 0 근처에서 ln⁡t\ln t가 발산해도 t2t^2이 눌러주어(t2∣ln⁡t∣→0t^2|\ln t| \to 0) 적분이 멀쩡히 수렴하는 모습이 수치에도 드러납니다.

φ(u)=30u2(1−u)2\varphi(u) = 30u^2(1-u)^2 (0<u<10 < u < 1), 그 외에서는 00이라 하고, f(x,t)=φ(t/x)f(x, t) = \varphi(t/x) (x>0x > 0, 0<t<x0 < t < x), 그 외에서는 00이라 하세요 (x,t∈[0,1]x, t \in [0, 1]). F(x)=∫01f(x,t) dtF(x) = \int_0^1 f(x, t)\,dt라 할 때, (가) 0<x<10 < x < 1에서 F(x)=xF(x) = x이므로 00에서의 우미분계수는 11임, (나) 모든 t∈[0,1]t \in [0, 1]에 대해 ∂f∂x(0,t)=0\frac{\partial f}{\partial x}(0, t) = 0이므로 ∫01∂f∂x(0,t) dt=0\int_0^1 \frac{\partial f}{\partial x}(0, t)\,dt = 0임, (다) 따라서 적분기호 아래 미분 공식이 x=0x = 0에서 성립하지 않음을 보이세요. (라) 가정이 어디서 깨지는지도 밝히세요.

F(x)=x  (0<x<1),F+′(0)=1≠0=∫01fx(0,t) dtF(x) = x\;(0 < x < 1), \quad F'_+(0) = 1 \ne 0 = \int_0^1 f_x(0, t)\,dt
f(x,x/2)=158↛0=f(0,0),fx(x,x/4)=−4532x→−∞f(x, x/2) = \tfrac{15}{8} \not\to 0 = f(0, 0), \qquad f_x(x, x/4) = -\tfrac{45}{32x} \to -\infty
이 문제는 씬의 txt^x가 아닌 "혹" 반례에 대한 것입니다 — 프리셋은 씬 기본값 x=1x = 1, n=200n = 200.
증명 보기
  1. 먼저 ∫01φ=1\int_0^1 \varphi = 1임을 확인합니다: ∫0130u2(1−u)2 du=30∫01(u2−2u3+u4) du=30(13−12+15)=30⋅130=1\int_0^1 30u^2(1-u)^2\,du = 30\int_0^1 (u^2 - 2u^3 + u^4)\,du = 30\left(\frac13 - \frac12 + \frac15\right) = 30 \cdot \frac{1}{30} = 1입니다. 이제 0<x<10 < x < 1일 때 F(x)=∫01f(x,t) dt=∫0x30(t/x)2(1−t/x)2 dtF(x) = \int_0^1 f(x, t)\,dt = \int_0^x 30(t/x)^2(1-t/x)^2\,dt입니다 (0<t<x0 < t < x에서만 00이 아니므로). 치환 u=t/xu = t/x로 F(x)=x∫0130u2(1−u)2 du=x⋅1=xF(x) = x\int_0^1 30u^2(1-u)^2\,du = x \cdot 1 = x입니다. F(0)=0F(0) = 0이므로 00에서의 우미분계수는 lim⁡h→0+F(h)−F(0)h=lim⁡h→0+hh=1\lim_{h \to 0^+} \frac{F(h) - F(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1입니다.
  2. 다음으로 ∂f∂x(0,t)=0\frac{\partial f}{\partial x}(0, t) = 0임을 보입니다. t>0t > 0을 고정하면, 0<h<t0 < h < t일 때 t<ht < h가 거짓이므로 f(h,t)=0f(h, t) = 0입니다 (ff가 00이 아닌 조건은 0<t<h0 < t < h). 따라서 차분몫 f(h,t)−f(0,t)h=0\frac{f(h, t) - f(0, t)}{h} = 0이 h<th < t인 모든 hh에 대해 성립하고, 극한은 00입니다. t=0t = 0에서도 f(h,0)=0f(h, 0) = 0이므로 차분몫은 00입니다. 즉 모든 t∈[0,1]t \in [0, 1]에 대해 ∂f∂x(0,t)=0\frac{\partial f}{\partial x}(0, t) = 0이고, ∫01∂f∂x(0,t) dt=0≠1\int_0^1 \frac{\partial f}{\partial x}(0, t)\,dt = 0 \ne 1 — 우미분계수와 다릅니다. 적분기호 아래 미분 공식이 x=0x = 0에서 깨집니다.
  3. 깨진 가정을 찾습니다. 직선 t=x/2t = x/2 위에서 f(x,x/2)=30(12)2(12)2=158=1.875f(x, x/2) = 30\left(\frac12\right)^2\left(\frac12\right)^2 = \frac{15}{8} = 1.875로 xx와 무관한 상수이므로, (x,x/2)→(0,0)(x, x/2) \to (0, 0)인데도 f→1.875≠0=f(0,0)f \to 1.875 \ne 0 = f(0, 0) — ff 자체가 (0,0)(0, 0)에서 불연속입니다. 편도함수는 더 심합니다: u=t/xu = t/x라 두면 ∂f∂x=−60u2(1−u)(1−2u)x\frac{\partial f}{\partial x} = -\frac{60u^2(1-u)(1-2u)}{x} (0<t<x0 < t < x)이고, 직선 t=x/4t = x/4 (u=1/4u = 1/4) 위에서 ∂f∂x=−4532x→−∞\frac{\partial f}{\partial x} = -\frac{45}{32x} \to -\infty (x→0+x \to 0^+). 즉 fxf_x는 (0,0)(0, 0)의 모든 근처에서 무계(unbounded)이므로 균등연속일 수 없고, 문제 2의 증명에서 "차분몫이 균등하게 수렴한다"는 핵심 단계가 무너집니다. 연속성 가정이 없으면 적분과 극한의 교환은 보장되지 않습니다 — 이것이 반례의 교훈입니다.

10. 적분