치환적분

u=φ(x)u = \varphi(x)로 축을 늘이고 줄이면 적분 구간이 따라 바뀝니다 — ∫abf(φ)φ′=∫φ(a)φ(b)f\int_a^b f(\varphi)\varphi' = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f. 두 치환이 같은 적분으로 모이는 것을 보세요.

∫abf(φ(x))φ′(x) dx=∫φ(a)φ(b)f(u) du\int_a^b f(\varphi(x))\varphi'(x)\,dx = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(u)\,du
∫012xex2 dx=∫01eu du=e−1\int_0^1 2x e^{x^2}\,dx = \int_0^1 e^u\,du = e - 1

예제

치환 법칙을 완전히 증명하세요: φ\varphi가 [a,b][a,b]에서 C1C^1 단조이고 ff가 연속이면 ∫abf(φ(x)) φ′(x) dx=∫φ(a)φ(b)f(u) du\int_a^b f(\varphi(x))\,\varphi'(x)\,dx = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(u)\,du입니다. F′=fF' = f인 원시함수 FF를 잡고 합성함수 (F∘φ)(F \circ \varphi)에 연쇄법칙과 미적분학 기본정리를 적용하세요.

∫abf(φ(x)) φ′(x) dx=∫φ(a)φ(b)f(u) du\int_a^b f(\varphi(x))\,\varphi'(x)\,dx = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(u)\,du
ddx[F(φ(x))]=F′(φ(x)) φ′(x)=f(φ(x)) φ′(x)\frac{d}{dx}\bigl[F(\varphi(x))\bigr] = F'(\varphi(x))\,\varphi'(x) = f(\varphi(x))\,\varphi'(x)
u=x2u = x^2 (N=50N = 50): 원래 적분 ≈1.7182820013\approx 1.7182820013, 치환 후 ≈1.7182818300\approx 1.7182818300 — 둘 다 e−1e - 1입니다. 아래 증명이 이 일치를 보장합니다.
증명 보기
  1. ff가 φ([a,b])\varphi([a,b])를 포함하는 구간에서 연속이므로, 원시함수 FF (F′=fF' = f)가 존재합니다 (연속함수는 적분으로 원시함수를 가집니다). 합성함수 H(x)=F(φ(x))H(x) = F(\varphi(x))는 C1C^1이고, 연쇄법칙에 의해 H′(x)=F′(φ(x)) φ′(x)=f(φ(x)) φ′(x)H'(x) = F'(\varphi(x))\,\varphi'(x) = f(\varphi(x))\,\varphi'(x)입니다 — 정확히 치환 전 피적분함수입니다.
  2. H′H'는 연속이므로 [a,b][a,b]에서 적분가능하고, FTC에 의해 ∫abf(φ(x)) φ′(x) dx=∫abH′(x) dx=H(b)−H(a)=F(φ(b))−F(φ(a))\int_a^b f(\varphi(x))\,\varphi'(x)\,dx = \int_a^b H'(x)\,dx = H(b) - H(a) = F(\varphi(b)) - F(\varphi(a))입니다.
  3. 한편 같은 FTC를 ff에 직접 적용하면 ∫φ(a)φ(b)f(u) du=F(φ(b))−F(φ(a))\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(u)\,du = F(\varphi(b)) - F(\varphi(a))입니다 (φ\varphi의 단조성은 φ(a)≤φ(b)\varphi(a) \le \varphi(b) 또는 그 역을 보장해 적분 구간이 정상적으로 정의됩니다). 양변이 같으므로 치환 법칙이 성립합니다. 증명 완료. (Tao 11.10.5–11.10.7.)

∫012x ex2 dx=e−1\int_0^1 2x\,e^{x^2}\,dx = e - 1을 u=x2u = x^2 치환으로 완전히 계산하세요: dudu의 결정, 적분 구간의 변환, 그리고 원시함수까지 빠짐없이 쓰세요.

∫012x ex2 dx=∫01eu du=[eu]01=e−1\int_0^1 2x\,e^{x^2}\,dx = \int_0^1 e^u\,du = \bigl[e^u\bigr]_0^1 = e - 1
N=50N = 50: Simpson으로 구한 원래 적분 ≈1.7182820013\approx 1.7182820013이 e−1≈1.7182818285e - 1 \approx 1.7182818285와 1.8×10−71.8 \times 10^{-7} 이내로 일치합니다.
증명 보기
  1. φ(x)=x2\varphi(x) = x^2는 [0,1][0,1]에서 C1C^1 단조증가이고 φ′(x)=2x\varphi'(x) = 2x입니다. 피적분함수 2x ex2=eφ(x) φ′(x)2x\,e^{x^2} = e^{\varphi(x)}\,\varphi'(x)는 정확히 치환 법칙의 꼴입니다 (f(u)=euf(u) = e^u).
  2. u=x2u = x^2라 두면 du=2x dxdu = 2x\,dx이고, 구간은 x=0↦u=0x = 0 \mapsto u = 0, x=1↦u=1x = 1 \mapsto u = 1로 변환됩니다. 따라서 ∫012x ex2 dx=∫01eu du\int_0^1 2x\,e^{x^2}\,dx = \int_0^1 e^u\,du입니다.
  3. eue^u의 원시함수는 eue^u 자신이므로 ∫01eu du=[eu]01=e−1≈1.7182818285\int_0^1 e^u\,du = [e^u]_0^1 = e - 1 \approx 1.7182818285입니다. 수치 확인: N=50N = 50 Simpson으로 원래 적분은 1.71828200131.7182820013, 치환 후 적분은 1.71828183001.7182818300 — 둘 다 e−1e - 1에 수렴합니다.

φ\varphi가 감소함수일 때 적분 구간의 방향이 뒤집힘을 명시적으로 검증하세요: φ(x)=−x\varphi(x) = -x를 [−1,0][-1, 0]에 적용해 ∫−10e−x⋅(−1) dx=∫10eu du=−∫01eu du=1−e\int_{-1}^{0} e^{-x}\cdot(-1)\,dx = \int_{1}^{0} e^u\,du = -\int_0^1 e^u\,du = 1 - e임을 직접 계산으로 확인하세요.

∫−10e−x⋅(−1) dx=∫10eu du=−∫01eu du=1−e\int_{-1}^{0} e^{-x}\cdot(-1)\,dx = \int_{1}^{0} e^u\,du = -\int_0^1 e^u\,du = 1 - e
[e−x]−10=e0−e1=1−e\bigl[e^{-x}\bigr]_{-1}^{0} = e^0 - e^1 = 1 - e
증가 치환 u=sin⁡xu = \sin x (N=50N = 50): 구간 [0,π/2]↦[0,1][0, \pi/2] \mapsto [0, 1]이 순서대로 대응됩니다. 아래 문제는 순서가 뒤집히는 감소 치환의 경우입니다.
증명 보기
  1. φ(x)=−x\varphi(x) = -x는 [−1,0][-1, 0]에서 C1C^1 단조감소이고 φ′(x)=−1\varphi'(x) = -1입니다. 치환 법칙에 의해 ∫−10f(φ(x)) φ′(x) dx=∫φ(−1)φ(0)f(u) du\int_{-1}^{0} f(\varphi(x))\,\varphi'(x)\,dx = \int_{\varphi(-1)}^{\varphi(0)} f(u)\,du이며, φ(−1)=1\varphi(-1) = 1, φ(0)=0\varphi(0) = 0이므로 우변은 ∫10eu du=−∫01eu du=−(e−1)=1−e\int_{1}^{0} e^u\,du = -\int_0^1 e^u\,du = -(e - 1) = 1 - e입니다 — 구간 방향이 뒤집혔습니다.
  2. 직접 계산으로 검증: ∫−10e−x⋅(−1) dx\int_{-1}^{0} e^{-x}\cdot(-1)\,dx에서 −e−x-e^{-x}의 원시함수는 e−xe^{-x}이므로 (ddxe−x=−e−x\frac{d}{dx}e^{-x} = -e^{-x}), 적분값은 [e−x]−10=e0−e1=1−e[e^{-x}]_{-1}^{0} = e^0 - e^1 = 1 - e입니다. 치환 법칙의 예측과 정확히 일치합니다.

10. 적분