M-판정법

각 항을 모든 xx에서 누르는 수열 MnM_n이 있으면 급수는 균등수렴합니다 — ∣sin⁡(nx)n2∣≤1n2=:Mn\left|\frac{\sin(nx)}{n^2}\right| \le \frac{1}{n^2} =: M_n, ∑Mn=π26\sum M_n = \frac{\pi^2}{6}이므로 부분합 오차 띠가 전체 xx 구간에서 한꺼번에 좁아집니다.

∣fn(x)∣≤Mn ∀x,∑Mn<∞ ⇒ ∑fn converges uniformly|f_n(x)| \le M_n\ \forall x,\quad \sum M_n<\infty\ \Rightarrow\ \sum f_n\ \text{converges uniformly}
sup⁡x∣S(x)−SN(x)∣≤∑k>N1k2,N=8: ≈0.1175\sup_x|S(x)-S_N(x)| \le \sum_{k>N}\frac{1}{k^2},\quad N=8:\ \approx 0.1175

이 씬이 포함된 학습 경로

예제

모든 실수 xx에 대해 급수 ∑n=1∞sin⁡(nx)n2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n^2}가 균등수렴함을 M-판정법으로 보이세요.

∣sin⁡(nx)n2∣≤1n2=:Mn,∑n=1∞Mn=π26\left|\frac{\sin(nx)}{n^2}\right| \le \frac{1}{n^2} =: M_n, \qquad \sum_{n=1}^{\infty} M_n = \frac{\pi^2}{6}
N=8N=8: 모든 xx에서 오차 ≤∑k>81/k2≈0.1175\le \sum_{k>8} 1/k^2 \approx 0.1175 — 띠가 전체 구간에서 한꺼번에 좁아집니다.
증명 보기
  1. 각 nn과 모든 xx에 대해 ∣sin⁡(nx)n2∣≤1n2=:Mn\left|\frac{\sin(nx)}{n^2}\right| \le \frac{1}{n^2} =: M_n입니다 (∣sin⁡(nx)∣≤1|\sin(nx)| \le 1).
  2. ∑n=1∞Mn=∑n=1∞1n2=π26≈1.6449<∞\sum_{n=1}^{\infty} M_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \approx 1.6449 < \infty입니다 (바젤 문제).
  3. M-판정법에 따라 ∑sin⁡(nx)n2\sum \frac{\sin(nx)}{n^2}는 R\mathbb{R} 전체에서 균등수렴합니다. N=8N = 8에서는 꼬리 경계 ∑k>81k2=π26−∑k=181k2≈1.6449−1.5274=0.1175\sum_{k>8} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6} - \sum_{k=1}^{8} \frac{1}{k^2} \approx 1.6449 - 1.5274 = 0.1175가 모든 xx에 동시에 통합니다 — 캡션의 수치와 일치합니다.

∑n=1∞e−nxn2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{-nx}}{n^2}가 [0,∞)[0, \infty)에서 균등수렴함을 M-판정법으로 보이세요.

x≥0⇒0<e−nx≤1,∣e−nxn2∣≤1n2=:Mnx \ge 0 \Rightarrow 0 < e^{-nx} \le 1, \qquad \left|\frac{e^{-nx}}{n^2}\right| \le \frac{1}{n^2} =: M_n
N=8N=8: 구간 [0,∞)[0, \infty) 전체에서 오차 ≤∑k>81/k2≈0.1175\le \sum_{k>8} 1/k^2 \approx 0.1175.
증명 보기
  1. x≥0x \ge 0일 때 −nx≤0-nx \le 0이므로 0<e−nx≤10 < e^{-nx} \le 1입니다. 따라서 ∣e−nxn2∣=e−nxn2≤1n2=:Mn\left|\frac{e^{-nx}}{n^2}\right| = \frac{e^{-nx}}{n^2} \le \frac{1}{n^2} =: M_n입니다.
  2. ∑n=1∞Mn=∑n=1∞1n2=π26≈1.6449<∞\sum_{n=1}^{\infty} M_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \approx 1.6449 < \infty이므로, M-판정법으로 급수는 [0,∞)[0, \infty)에서 균등수렴합니다.
  3. 마찬가지로 N=8N = 8에서 꼬리 경계는 π26−∑k=181k2≈0.1175\frac{\pi^2}{6} - \sum_{k=1}^{8} \frac{1}{k^2} \approx 0.1175이며, 이는 x≥0x \ge 0인 모든 xx에 동시에 적용됩니다.

각 fnf_n이 x0x_0에서 연속이고 fn→ff_n \to f가 균등수렴이면, ff도 x0x_0에서 연속임을 증명하세요 (3-ε\varepsilon 논증).

∣f(x)−f(x0)∣≤∣f(x)−fN(x)∣+∣fN(x)−fN(x0)∣+∣fN(x0)−f(x0)∣|f(x)-f(x_0)| \le |f(x)-f_N(x)| + |f_N(x)-f_N(x_0)| + |f_N(x_0)-f(x_0)|
N=8N=8: 부분합이 ±0.1175\pm 0.1175 밴드 안에서 한계함수에 균등하게 붙어 있습니다.
증명 보기
  1. ε>0\varepsilon > 0이 주어졌다고 하자. 균등수렴이므로 모든 xx에 대해 ∣f(x)−fN(x)∣<ε3|f(x) - f_N(x)| < \frac{\varepsilon}{3}인 NN이 존재한다.
  2. fNf_N은 x0x_0에서 연속이므로, ∣x−x0∣<δ|x - x_0| < \delta일 때 ∣fN(x)−fN(x0)∣<ε3|f_N(x) - f_N(x_0)| < \frac{\varepsilon}{3}이 되는 δ>0\delta > 0이 존재한다.
  3. ∣x−x0∣<δ|x - x_0| < \delta이면 삼각부등식으로 ∣f(x)−f(x0)∣≤∣f(x)−fN(x)∣+∣fN(x)−fN(x0)∣+∣fN(x0)−f(x0)∣<ε3+ε3+ε3=ε|f(x) - f(x_0)| \le |f(x)-f_N(x)| + |f_N(x)-f_N(x_0)| + |f_N(x_0)-f(x_0)| < \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon. 따라서 ff는 x0x_0에서 연속이다.

8. 함수급수와 푸리에