Fejér 정리

Fejér 핵 $K_N(t) = \frac{1}{N}\left(\frac{\sin(Nt/2)}{\sin(t/2)}\right)^2$ ( $t \not\equiv 0 \pmod{2\pi}$ , $K_N(0) = N$ )에 대해 $K_N \ge 0$ 이고 $\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} K_N = 1$ 임을 증명하세요. 또한 $\sigma_N(f) = \frac{1}{2\pi}(f * K_N)$ 임을 보이세요.

K_N(t) = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} D_k(t) = \frac{1}{N}\left(\frac{\sin(Nt/2)}{\sin(t/2)}\right)^2 \ge 0

\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} K_N = 1, \qquad \sigma_N(f) = \frac{1}{2\pi}(f * K_N)

N = 8

: 핵은

K_8(0) = 8

인 뾰족한 봉우리이고,

\sigma_8

은 이미 매끈합니다 — 아래 증명이 이 봉우리가 질량 1인 이유입니다.

증명 보기

Dirichlet 핵 $D_k(t) = \sum_{j=-k}^{k} e^{ijt}$ 부터 시작합니다. 부분합은 합성곱입니다: $S_k(f)(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x-t)\,D_k(t)\,dt$ (지수함수들의 직교성). 이를 평균하면 $\sigma_N(f) = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} S_k(f) = \frac{1}{2\pi}(f * K_N)$ 이 되는데, 여기서 $K_N = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} D_k$ 입니다.
합을 뒤집으면 $\sum_{k=0}^{N-1} D_k(t) = \sum_{k=0}^{N-1}\sum_{j=-k}^{k} e^{ijt}$ 입니다. 주파수 $j$ ( $|j| \le N-1$ )는 $k \ge |j|$ 인 모든 $k$ 에 등장하므로, 정확히 $N - |j|$ 번 등장합니다: $\sum_{k=0}^{N-1} D_k(t) = \sum_{|j| \le N-1} (N-|j|)\,e^{ijt}$ .
한편 $\left|\sum_{j=0}^{N-1} e^{ijt}\right|^2 = \sum_{j,l} e^{i(j-l)t}$ 를 전개하면, 차 $m = j-l$ 이 $|m| \le N-1$ 의 각 값을 정확히 $N - |m|$ 번 취하므로 같은 합이 나옵니다. 즉 $\sum_{k=0}^{N-1} D_k(t) = \left|\sum_{j=0}^{N-1} e^{ijt}\right|^2 \ge 0$ 입니다. 등비수열 합으로 $\sum_{j=0}^{N-1} e^{ijt} = e^{i(N-1)t/2}\,\frac{\sin(Nt/2)}{\sin(t/2)}$ 이므로 $K_N(t) = \frac{1}{N}\left(\frac{\sin(Nt/2)}{\sin(t/2)}\right)^2 \ge 0$ 입니다 ( $t = 0$ 에서는 극한값 $N$ ).
적분은 간단합니다: $\int_{-\pi}^{\pi} e^{ijt}\,dt = 2\pi$ ( $j = 0$ 일 때)이고 $0$ ( $j \ne 0$ 일 때)이므로, $\int_{-\pi}^{\pi} K_N = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}\int_{-\pi}^{\pi} D_k = \frac{1}{N}\cdot N \cdot 2\pi = 2\pi$ 입니다. 즉 $\frac{1}{2\pi}\int K_N = 1$ — $K_N$ 은 질량 1인 음이 아닌 근사 항등원(approximate identity)입니다.

연속인 $2\pi$ -주기 함수 $f$ 에 대해 $\sigma_N(f) \to f$ 가 균등수렴함을 증명하세요. 적분을 $|t| < \delta$ (균등연속성)와 $\delta \le |t| \le \pi$ (핵의 꼬리 bound $K_N(t) \le \frac{1}{N\sin^2(\delta/2)}$ )로 나누는 approximate-identity 논증을 쓰세요.

\lvert\sigma_N(x) - f(x)\rvert \le \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} K_N(t)\,\lvert f(x-t) - f(x)\rvert\,dt

K_N(t) \le \frac{1}{N\sin^2(\delta/2)} \quad (\delta \le \lvert t\rvert \le \pi)

N = 8

:

\lVert \sigma_8 - f \rVert_\infty \approx 0.1101

,

N = 16

에서

\approx 0.0639

,

N = 32

에서

\approx 0.0363

으로 감소 — 아래 증명이 이 균등수렴의 기계입니다.

증명 보기

$f$ 를 $2\pi$ -주기적으로 확장합니다 (여전히 연속이며, 주기성과 $[-\pi, 3\pi]$ 에서의 균등연속성 덕분에 $\mathbb{R}$ 전체에서 균등연속). 앞 문제에서 $\sigma_N(f)(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x-t)\,K_N(t)\,dt$ 이고 $\frac{1}{2\pi}\int K_N = 1$ 이므로, $f(x) = \frac{1}{2\pi}\int K_N(t)\,f(x)\,dt$ 를 빼면 오차는 $\frac{1}{2\pi}\int K_N(t)\,|f(x-t) - f(x)|\,dt$ 이하입니다 ( $K_N \ge 0$ ).
$\varepsilon > 0$ 이 주어지면, 균등연속성에서 $|s - t| < \delta$ 일 때 $|f(s) - f(t)| < \varepsilon/2$ 인 $\delta \in (0, \pi)$ 를 잡습니다. 적분을 $|t| < \delta$ 와 $\delta \le |t| \le \pi$ 로 나눕니다. 앞부분은 $(\varepsilon/2)\cdot\frac{1}{2\pi}\int_{|t|<\delta} K_N \le \varepsilon/2$ 입니다 (질량이 1 이하이므로).
꼬리 부분: $\delta \le |t| \le \pi$ 에서는 $|\sin(t/2)| \ge \sin(\delta/2) > 0$ 이므로 (사인은 $[0, \pi/2]$ 에서 증가), $K_N(t) = \frac{1}{N}\left(\frac{\sin(Nt/2)}{\sin(t/2)}\right)^2 \le \frac{1}{N\sin^2(\delta/2)}$ 입니다. $M = \|f\|_\infty$ 라 두면 $|f(x-t) - f(x)| \le 2M$ 이므로, 꼬리는 $\frac{1}{2\pi}\cdot 2M\cdot\frac{2(\pi-\delta)}{N\sin^2(\delta/2)} \le \frac{2M}{N\sin^2(\delta/2)}$ 이하입니다.
따라서 $N > \frac{4M}{\varepsilon\sin^2(\delta/2)}$ 이면 모든 $x$ 에 대해 $|\sigma_N(x) - f(x)| < \varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon$ 입니다. $N$ 의 선택이 $x$ 에 무관하므로 수렴은 균등합니다. 이것이 Fejér 정리입니다 — $S_N$ 자체의 거동에 대한 가정이 전혀 없다는 점이 핵심입니다.

정사각파 $f$ (점프 불연속)를 생각하세요. 원시 부분합 $S_N$ 은 균등수렴하지 않음을 증명하세요 (Gibbs 울림 — 푸리에 씬에서 수치로 확인). 반면 $\sigma_N$ 은 점프에서 떨어진 compact 집합 위에서는 $f$ 로 균등수렴함을 (앞 문제의 논증을 국소화하여) 증명하세요. 점프점 자체에서의 거동은 아이디어 수준으로만 서술하세요.

\text{Gibbs: }\sup_x \lvert S_N - f\rvert \gtrsim 0.17 \text{ for all } N

\Longrightarrow\ \text{no uniform convergence}

\sigma_N \to f \text{ uniformly on } K \Subset [-\pi,\pi] \setminus \{\text{jumps}\}

삼각파(연속)에서는

S_8

의 sup 오차

\approx 0.0252

가

\sigma_8

의

\approx 0.1101

보다 작습니다 — Cesàro의 진짜 승리는 점프가 있는 함수에서 드러납니다 (정사각파 씬 참조).

증명 보기

$S_N$ 은 삼각함수들의 합이므로 연속입니다. 연속함수들의 균등수렴 극한은 연속이어야 합니다 — 그런데 정사각파 $f$ 는 점프점에서 불연속입니다. 따라서 $S_N \to f$ 는 점프를 포함하는 어떤 구간 위에서도 균등수렴할 수 없습니다. 푸리에 씬의 수치 실험이 보여주듯, 점프 옆의 overshoot $\approx 0.1789$ 는 $N$ 을 키워도 사라지지 않습니다 (Gibbs 현상).
이제 점프 집합 $J$ 에서 거리 $d > 0$ 이상 떨어진 compact 집합 $K$ 를 고정합니다. 앞 문제의 증명을 그대로 쓰되, $\delta = \min(d/2, \delta_{\text{unif}})$ 로 잡습니다 — 여기서 $\delta_{\text{unif}}$ 는 $f$ 가 $J$ 에서 $d/2$ 이상 떨어진 compact 집합(여기서는 $f$ 가 연속이므로 균등연속) 위에서 $\varepsilon/2$ -균등연속성을 주는 반경입니다. $x \in K$ 이고 $|t| < \delta$ 이면 $x - t$ 는 여전히 $J$ 에서 $d/2$ 이상 떨어져 있어 균등연속성이 적용되고, 꼬리 bound는 그대로입니다.
따라서 $\sup_{x \in K} |\sigma_N(x) - f(x)| \to 0$ — Cesàro 평균은 점프를 피한 곳에서는 균등수렴을 회복합니다. 이것이 Fejér 정리가 $S_N$ 의 실패를 넘어서는 지점입니다: 평균을 취하면 울림이 평균화되어 사라집니다.
아이디어 수준: 점프점 자체에서는 $K_N$ 이 대칭이므로 $\sigma_N$ 은 점프의 양쪽 값을 절반씩 받아, 정사각파의 경우 $\sigma_N(0) = 0$ (중간값)으로 수렴합니다. 일반적으로는 한쪽 극한들의 평균 $(f(x^+) + f(x^-))/2$ 로 수렴합니다 — 엄밀한 증명은 생략합니다.

예제