연습문제

이 장의 내용을 확인하는 연습문제이다. 풀이는 접어서 두었으니 먼저 스스로 풀어 보자.

보통

1보통

급수 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+x^2}$ 가 실수 전체 $\mathbb{R}$ 에서 균등수렴함을 M-판정법으로 보이고, 그 합함수가 $\mathbb{R}$ 에서 연속임을 증명하세요.

\left|\frac{1}{n^2+x^2}\right| \le \frac{1}{n^2} =: M_n, \qquad \sum_{n=1}^{\infty} M_n < \infty

M-판정법

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모든 실수 $x$ 에 대해 $n^2+x^2 \ge n^2$ 이므로 $\left|\frac{1}{n^2+x^2}\right| \le \frac{1}{n^2} =: M_n$ 입니다. $\sum M_n = \sum \frac{1}{n^2}$ 은 수렴하므로( $p$ -급수, $p = 2$ ), 바이어슈트라스 M-판정법으로 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+x^2}$ 는 $\mathbb{R}$ 에서 균등수렴합니다.
각 항 $f_n(x) = \frac{1}{n^2+x^2}$ 은 $\mathbb{R}$ 에서 연속입니다 (분모가 $0$ 이 되지 않음). 연속함수들의 균등수렴 극한은 연속이므로, 합함수 $S(x) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+x^2}$ 는 $\mathbb{R}$ 전체에서 연속입니다.

어려움

2어려움

$N \ge 1$ 에 대해 $s_N(x) = \sum_{n=1}^{N}(1-x)x^n$ 이라 둡니다. (a) $s_N$ 이 $[0,a]$ ( $0 < a < 1$ )에서 디니 정리로 균등수렴함을 보이세요. (b) $[0,1]$ 에서는 균등수렴하지 않음을 증명하세요.

s_N(x) = x(1-x^N) \uparrow x \quad (0 \le x < 1), \qquad s_N(1) = 0

디니 정리

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$x \ne 1$ 에서 $\sum_{n=1}^{N}x^n = \frac{x(1-x^N)}{1-x}$ 이므로 $s_N(x) = x(1-x^N)$ 입니다 ( $x = 1$ 에서도 각 항이 $0$ 이므로 같은 식이 성립). 각 $s_N$ 은 다항식이므로 연속이고, $s_{N+1}(x)-s_N(x) = (1-x)x^{N+1} \ge 0$ ( $0 \le x \le 1$ )이므로 $s_N$ 은 단조증가합니다.
(a) $0 \le x \le a < 1$ 에서 $x^N \to 0$ 이므로 $s_N(x) \to x$ 입니다. 극한함수 $s(x) = x$ 는 $[0,a]$ 에서 연속이고, 연속함수들의 단조증가 수열이 연속 극한으로 각 점 수렴하므로, 디니 정리에 의해 수렴은 균등합니다.
(b) $[0,1]$ 에서의 각 점별 극한은 $s(x) = x$ ( $x < 1$ ), $s(1) = 0$ 으로, $x = 1$ 에서 불연속입니다 ( $\lim_{x\to 1^{-}}s(x) = 1 \ne 0 = s(1)$ ). 연속함수들의 균등수렴 극한은 연속이어야 하므로, $[0,1]$ 에서의 수렴은 균등할 수 없습니다.

3어려움

연속인 $2\pi$ -주기 핵 $K_n \ge 0$ 이 다음을 만족한다고 하자: (i) $\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} K_n(t)\,dt = 1$ ; (ii) 질량 집중: 모든 $\delta > 0$ 에 대해 $\dfrac{1}{2\pi}\int_{\delta \le \lvert t \rvert \le \pi} K_n(t)\,dt \to 0$ ( $n \to \infty$ ). 연속인 $2\pi$ -주기 함수 $f$ 에 대해 합성곱 $(f \ast K_n)(x) = \dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x-t)K_n(t)\,dt$ 이 $f$ 로 균일수렴함을 증명하세요. (페이예르 핵은 이 가설들을 만족하므로 — 페이예르 장면 참조 — 이는 페이예르 정리를 일반화합니다.)

\lvert (f \ast K_n)(x) - f(x) \rvert \le \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} K_n(t)\,\lvert f(x-t) - f(x) \rvert\,dt

= \underbrace{\frac{1}{2\pi}\int_{\lvert t \rvert < \delta} \cdots}_{\text{uniform continuity}} + \underbrace{\frac{1}{2\pi}\int_{\delta \le \lvert t \rvert \le \pi} \cdots}_{\text{tail } \to 0}

풀이 보기

질량이 $1$ 이므로 $f(x) = \dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)K_n(t)\,dt$ 라 쓸 수 있다 ( $f$ 는 $2\pi$ -주기이므로 $f(x-t)$ 는 $t \in [-\pi,\pi]$ 에서 문제없이 정의된다). 빼고 절댓값을 취하면 모든 $x$ 에 대해 \[\lvert (f \ast K_n)(x) - f(x) \rvert \le \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} K_n(t)\,\lvert f(x-t) - f(x) \rvert\,dt\] 를 얻는다. 적분을 $\lvert t \rvert < \delta$ 와 $\delta \le \lvert t \rvert \le \pi$ 로 나눈다.
$\varepsilon > 0$ 이 주어졌다고 하자. $f$ 는 콤팩트 집합 $\mathbb{R}$ 위에서 연속인 주기함수이므로 균일연속이다: $\lvert t \rvert < \delta$ 이면 모든 $x$ 에 대해 $\lvert f(x-t) - f(x) \rvert < \varepsilon/2$ 인 $\delta > 0$ 이 존재한다. $K_n \ge 0$ 이고 질량이 $1$ 이므로 첫 번째 적분은 $\le \varepsilon/2$ 이다 ( $x$ 와 무관하게).
꼬리 적분은 $\lvert f(x-t) - f(x) \rvert \le 2\lVert f \rVert_\infty$ 로 상한이 잡히므로 \[\frac{1}{2\pi}\int_{\delta \le \lvert t \rvert \le \pi} K_n(t)\,\lvert f(x-t) - f(x) \rvert\,dt \le 2\lVert f \rVert_\infty \cdot \frac{1}{2\pi}\int_{\delta \le \lvert t \rvert \le \pi} K_n(t)\,dt \to 0\] 이다 ( $n \to \infty$ , 가설 (ii)). 따라서 $n$ 이 충분히 크면 꼬리도 $x$ 와 무관하게 $<\varepsilon/2$ 이다. 합하면 $\lVert f \ast K_n - f \rVert_\infty < \varepsilon$ — 균일수렴이다. 페이예르 핵 $K_N$ 은 $K_N \ge 0$ , 질량 $1$ , 그리고 꼬리 상한 $K_N(t) \le \dfrac{1}{N\sin^2(\delta/2)}$ ( $\delta \le \lvert t \rvert \le \pi$ )을 만족하므로 (페이예르 장면의 문제들), 페이예르 정리는 이 일반 정리의 따름정리이다.