디니 정리

컴팩트 집합 위에서는 단조인 연속함수열의 점별수렴이 균등수렴이 됩니다 — 열린 덮개 EnE_n들의 유한 부분덮개가 한 번에 잡아줍니다. M-판정법의 쌍대 도구.

fn↑f continuous on compact K⇒fn→f uniformlyf_n \uparrow f\ \text{continuous on compact } K \Rightarrow f_n \to f\ \text{uniformly}
max⁡[0,1]∣x−nxn+1∣=1n+1\max_{[0,1]}\left|x - \frac{nx}{n+1}\right| = \frac{1}{n+1}

이 씬이 포함된 학습 경로

예제

KK를 컴팩트 거리공간이라 하자. 각 fn:K→Rf_n : K \to \mathbb{R}가 연속이고, 각 x∈Kx \in K에서 fn(x)f_n(x)가 단조 증가하면서 연속함수 f:K→Rf : K \to \mathbb{R}에 수렴할 때, fn→ff_n \to f가 KK에서 균등수렴함을 증명하세요.

En={x∈K:f(x)−fn(x)<ε},En⊆En+1,K=⋃n=1∞EnE_n = \{x \in K : f(x) - f_n(x) < \varepsilon\}, \qquad E_n \subseteq E_{n+1}, \qquad K = \bigcup_{n=1}^{\infty} E_n
n=8n=8: 최대 간격 1/9≈0.11111/9 \approx 0.1111 — nn이 커질수록 간격이 한꺼번에 줄어든다.
증명 보기
  1. ε>0\varepsilon > 0을 고정하고 En={x∈K:f(x)−fn(x)<ε}E_n = \{x \in K : f(x) - f_n(x) < \varepsilon\}이라 두자. f−fnf - f_n은 연속이므로 각 EnE_n은 KK의 열린 부분집합이다. 단조 증가 fn(x)≤fn+1(x)f_n(x) \le f_{n+1}(x)이므로 f(x)−fn(x)≥f(x)−fn+1(x)f(x) - f_n(x) \ge f(x) - f_{n+1}(x)이고, 따라서 En⊆En+1E_n \subseteq E_{n+1}이다.
  2. 각 xx에서 fn(x)→f(x)f_n(x) \to f(x)이므로, f(x)−fn(x)<εf(x) - f_n(x) < \varepsilon인 nn이 존재하고 따라서 x∈Enx \in E_n이다. 즉 {En}\{E_n\}은 KK의 열린 덮개이다.
  3. KK가 컴팩트이므로 유한 부분덮개 En1,…,EnkE_{n_1}, \dots, E_{n_k}가 존재한다. N=max⁡{n1,…,nk}N = \max\{n_1, \dots, n_k\}라 두면 단조성에 의해 K⊆ENK \subseteq E_N이다. n≥Nn \ge N이면 EN⊆EnE_N \subseteq E_n이므로 모든 x∈Kx \in K에 대해 f(x)−fn(x)<εf(x) - f_n(x) < \varepsilon이다 — xx에 의존하지 않는 하나의 NN이 전체 KK에 통하므로 균등수렴이다. (단조 감소인 경우 −fn-f_n에 적용한다.)

gn(x)=xng_n(x) = x^n이 (0,1](0,1]에서 각 점별로 g(x)=0g(x) = 0 ((0,1)(0,1)에서, g(1)=1g(1) = 1)에 수렴하지만, 단조 감소임에도 균등수렴하지 않음을 보이세요.

sup⁡x∈(0,1]∣g(x)−gn(x)∣=1for every n\sup_{x \in (0,1]} |g(x) - g_n(x)| = 1 \quad \text{for every } n
n=20n=20: sup 간격이 1에 묶여 있음 — 곡선들은 0에 달라붙지만 절대 균등하게 붙지 않는다.
증명 보기
  1. 각 gng_n은 연속이고, 0<x<10 < x < 1에서는 gn+1(x)=xn+1≤xn=gn(x)g_{n+1}(x) = x^{n+1} \le x^n = g_n(x)이므로 단조 감소한다. 각 점별 수렴: 0<x<10 < x < 1이면 xn→0x^n \to 0이고, x=1x = 1에서는 gn(1)=1g_n(1) = 1이므로 극한 gg는 x=1x = 1에서 불연속이다.
  2. (0,1)(0,1) 위에서 sup⁡x∈(0,1)∣g(x)−gn(x)∣=sup⁡x∈(0,1)xn=1\sup_{x \in (0,1)} |g(x) - g_n(x)| = \sup_{x \in (0,1)} x^n = 1이다 (x→1−x \to 1^-). 즉 ε=12\varepsilon = \tfrac{1}{2}에 대해 어떤 nn도 모든 xx에 동시에 통하지 않으므로 균등수렴이 아니다.
  3. 단조성·연속성은 디니 정리와 같은 설정인데도 실패한다 — 빠진 것은 정의역의 컴팩트성이다. (0,1](0,1]은 닫혀 있지 않고, 증명의 유한 부분덮개 단계가 여기서 막힌다. 균등수렴하는 연속함수열의 극한은 연속이어야 한다는 사실도 같은 결론을 준다: 극한 gg는 x=1x = 1에서 불연속이다.

∑n=1∞xnn2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n^2}가 [0,1][0,1]에서 균등수렴함을 디니 정리로 보이세요.

SN(x)=∑k=1Nxkk2↑S(x),0≤xkk2≤1k2S_N(x) = \sum_{k=1}^{N} \frac{x^k}{k^2} \uparrow S(x), \qquad 0 \le \frac{x^k}{k^2} \le \frac{1}{k^2}
n=12n=12, compact 모드: [0,1][0,1] 위의 단조 연속함수열 — 최대 간격 1/13≈0.07691/13 \approx 0.0769가 균등하게 줄어든다.
증명 보기
  1. 부분합 SN(x)=∑k=1Nxkk2S_N(x) = \sum_{k=1}^{N} \frac{x^k}{k^2}은 연속함수의 유한합이므로 연속이고, [0,1][0,1]에서 SN+1(x)−SN(x)=xN+1(N+1)2≥0S_{N+1}(x) - S_N(x) = \frac{x^{N+1}}{(N+1)^2} \ge 0이므로 단조 증가한다.
  2. 각 x∈[0,1]x \in [0,1]에 대해 0≤xkk2≤1k20 \le \frac{x^k}{k^2} \le \frac{1}{k^2}이고 ∑1k2=π26<∞\sum \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6} < \infty이므로, 각 점별 극한 S(x)=∑k=1∞xkk2S(x) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k^2}이 존재한다.
  3. SS는 연속이다: Mk=1k2M_k = \frac{1}{k^2}로 M-판정법을 적용하면 급수가 [0,1][0,1]에서 균등수렴하므로, SS는 연속함수들의 균등 극한이 되어 연속이다. 따라서 디니 정리의 가설(컴팩트 [0,1][0,1] · 연속인 단조열 · 연속인 극한)이 모두 성립하고, SN→SS_N \to S는 [0,1][0,1]에서 균등수렴한다.

8. 함수급수와 푸리에