바이어슈트라스 함수

W(x)=∑n=0∞ancos⁡(bnπx)W(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n\cos(b^n\pi x) — 모든 점에서 연속이지만 어느 점에서도 미분 불가능합니다. M-판정법 장면이 연속성의 엔진이고, 부분합이 늘어날수록 그래프는 가시처럼 뾰족해집니다. 미분 불가능성의 완전한 증명은 아이디어 수준에서만 다룹니다.

W(x)=∑n=0∞ancos⁡(bnπx),0<a<1<b, ab>1+3π2W(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n\cos(b^n\pi x),\quad 0 < a < 1 < b,\ ab > 1 + \frac{3\pi}{2}
∣ancos⁡(bnπx)∣≤an,∑an<∞ ⇒ W continuous|a^n\cos(b^n\pi x)| \le a^n,\quad \sum a^n < \infty\ \Rightarrow\ W \text{ continuous}

이 씬이 포함된 학습 경로

예제

바이어슈트라스 함수 W(x)=∑n=0∞ancos⁡(bnπx)W(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n \cos(b^n \pi x) (a=12a = \frac12, b=13b = 13)가 R\mathbb{R} 전체에서 연속임을 바이어슈트라스 M-판정법으로 증명하세요. (힌트: 급수 장의 m-test 장면.)

un(x)=ancos⁡(bnπx),∣un(x)∣≤(12)n=:Mnu_n(x) = a^n \cos(b^n \pi x), \qquad |u_n(x)| \le \left(\tfrac12\right)^n =: M_n
∑n=0∞Mn=2<∞  →M-test  ∑un converges uniformly on R\sum_{n=0}^{\infty} M_n = 2 < \infty \;\xrightarrow{\text{M-test}}\; \sum u_n \text{ converges uniformly on } \mathbb{R}
∣W(x)−WN(x)∣≤∑n=N+1∞Mn=(12)Nfor every x|W(x) - W_N(x)| \le \sum_{n=N+1}^{\infty} M_n = \left(\tfrac12\right)^N \quad \text{for every } x
n=6n = 6: 꼬리 상한 (1/2)6=0.015625(1/2)^6 = 0.015625 — 이 곡선은 진짜 WW와 모든 xx에서 0.016 이내에 있다 (W6(0)=1.984375W_6(0) = 1.984375).
증명 보기
  1. 각 항 un(x)=ancos⁡(bnπx)u_n(x) = a^n \cos(b^n \pi x)는 연속함수이다. 모든 xx에 대해 ∣cos⁡∣≤1|\cos| \le 1이므로 ∣un(x)∣≤an=(12)n=:Mn|u_n(x)| \le a^n = \left(\frac12\right)^n =: M_n이고, ∑n=0∞Mn=∑n=0∞(12)n=2<∞\sum_{n=0}^{\infty} M_n = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac12\right)^n = 2 < \infty이다. 바이어슈트라스 M-판정법(급수 장의 m-test 장면)에 의해 ∑un\sum u_n은 R\mathbb{R}에서 균등 수렴한다.
  2. 연속함수들의 균등 극한은 연속이다: x0x_0을 고정하면 ∣W(x)−W(x0)∣≤∣W(x)−WN(x)∣+∣WN(x)−WN(x0)∣+∣WN(x0)−W(x0)∣|W(x) - W(x_0)| \le |W(x) - W_N(x)| + |W_N(x) - W_N(x_0)| + |W_N(x_0) - W(x_0)|이고, 처음과 마지막 항은 꼬리 상한 (1/2)N(1/2)^N으로, 가운데 항은 연속인 유한합 WNW_N으로 작게 만들 수 있다. 따라서 WW는 x0x_0에서 연속이고, x0x_0은 임의였으므로 WW는 R\mathbb{R} 전체에서 연속이다.
  3. 숫자로 확인하자: N=6N = 6일 때 ∣W(x)−W6(x)∣≤(1/2)6=0.015625|W(x) - W_6(x)| \le (1/2)^6 = 0.015625가 모든 xx에 대해 성립한다 — 화면의 곡선은 진짜 WW에서 0.016 이내에 있다. NN을 키우면 꼬리 상한 (1/2)N(1/2)^N은 0으로 가므로, 화면의 WNW_N은 WW에 균등하게 다가간다.

정리를 서술하세요: bb가 홀수이고 ab>1+3π2ab > 1 + \frac{3\pi}{2}이면 바이어슈트라스 함수 WW는 어떤 점에서도 미분가능하지 않습니다 (우리의 a=12a = \frac12, b=13b = 13은 ab=6.5>5.712ab = 6.5 > 5.712을 만족합니다). 아래 증명은 아이디어 수준의 개요(sketch)입니다 — 메커니즘은 정확히 전달하되, 고전적 증명의 상수 추적을 한 줄 한 줄 재현하지는 않습니다.

ab=6.5>1+3π2≈5.712,b=13 oddab = 6.5 > 1 + \frac{3\pi}{2} \approx 5.712, \qquad b = 13 \text{ odd}
at scale b−n: the n-th harmonic completes a full spike, so some xn→x0 has\text{at scale } b^{-n}\text{: the } n\text{-th harmonic completes a full spike, so some } x_n \to x_0 \text{ has}
∣W(xn)−W(x0)xn−x0∣≳(ab)n→∞(idea sketch, not the full proof)\left|\frac{W(x_n) - W(x_0)}{x_n - x_0}\right| \gtrsim (ab)^n \to \infty \quad \text{(idea sketch, not the full proof)}
n=8n = 8: 꼬리 상한 (1/2)8=0.00390625(1/2)^8 = 0.00390625 — 매끄러운 항을 8개나 더했는데도 곡선은 모든 스케일에서 들쭉날쭉하다 (W8(0)=1.99609375W_8(0) = 1.99609375, W8(1)=−1.99609375W_8(1) = -1.99609375).
증명 보기
  1. 정리 (Weierstrass–Hardy): bb가 홀수인 정수이고 ab>1+3π2ab > 1 + \frac{3\pi}{2}이면 W(x)=∑n=0∞ancos⁡(bnπx)W(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n \cos(b^n \pi x)는 어떤 점에서도 미분가능하지 않다. 우리는 a=12a = \frac12, b=13b = 13을 쓰므로 ab=6.5>1+3π2≈5.712ab = 6.5 > 1 + \frac{3\pi}{2} \approx 5.712이다 — 조건을 만족한다.
  2. 메커니즘 — 스케일 b−nb^{-n}에서 들여다보기: nn번째 조화항 cos⁡(bnπx)\cos(b^n \pi x)는 길이가 b−nb^{-n} 정도인 구간마다 한 주기를 완성하므로, 임의의 점 x0x_0 근처에는 ∣xn−x0∣≲b−n|x_n - x_0| \lesssim b^{-n}이면서 nn번째 코사인이 거의 골에서 봉우리까지 (≈2\approx 2만큼) 움직이는 스파이크 점 xnx_n이 있다. 이 스파이크를 가로지르는 nn번째 항의 차분몫은 an⋅(≈2)/(≈b−n)≈2(ab)n=2⋅6.5n→∞a^n \cdot (\approx 2) / (\approx b^{-n}) \approx 2(ab)^n = 2 \cdot 6.5^n \to \infty이다 (n=8n = 8에서 ≈6.37×106\approx 6.37 \times 10^6).
  3. 나머지 항들은 이 스파이크를 이기지 못한다: k<nk < n인 항들은 이 스케일에서 거의 평평하므로(미분하면 akbkπa^k b^k \pi가 나오고, 공비가 abab인 기하급수라 스파이크보다 작은 상수를 갖는다), k>nk > n인 항들은 꼬리 상한 2an+1/(1−a)2a^{n+1}/(1-a)로 균등하게 작다. 고전적 증명은 스파이크 점을 정교하게 선택해 세 부분의 상수를 모두 추적하고, ab>1+3π2ab > 1 + \frac{3\pi}{2}라는 조건이 정확히 "스파이크의 상수가 이긴다"는 부등식임을 보인다.
  4. 정직한 표시: 이것은 아이디어 수준의 개요이다. 완전한 증명은 스파이크 점을 구성하고 세 부분의 상수를 끝까지 추적하는 고전적 Weierstrass–Hardy 구성으로, 여기서는 한 줄 한 줄 재현하지 않는다. 전달하려는 핵심은 이것이다 — 차분몫이 스파이크 수열 xn→x0x_n \to x_0을 따라 무한대로 발산하므로, 어떤 유한한 수도 W′(x0)W'(x_0)이 될 수 없고, x0x_0은 임의였으므로 WW는 어디에서도 미분가능하지 않다.

각 부분합 WNW_N은 유한개의 코사인 합이므로 R\mathbb{R}에서 매끄럽게(무한히) 미분가능합니다. 그런데 WN→WW_N \to W는 균등 수렴이고(문제 1), WW는 어디에서도 미분가능하지 않습니다(문제 2). 따라서 미분가능한 함수들의 균등 극한은 미분가능하지 않을 수 있음을 결론지으세요.

WN(x)=∑n=0Nancos⁡(bnπx)smooth on RW_N(x) = \sum_{n=0}^{N} a^n \cos(b^n \pi x) \quad \text{smooth on } \mathbb{R}
WN→uniformlyW,∣W−WN∣≤(12)N→0W_N \xrightarrow{\text{uniformly}} W, \qquad |W - W_N| \le \left(\tfrac12\right)^N \to 0
W differentiable nowhere (problem 2)W \text{ differentiable nowhere (problem 2)}
n=2n = 2: 매끄러운 항 3개의 합 (W2(0)=1.75W_2(0) = 1.75, 꼬리 상한 (1/2)2=0.25(1/2)^2 = 0.25) — 이렇게 매끄러운 것들의 균등 극한이 미분가능하지 않을 수 있다.
증명 보기
  1. 각 WNW_N은 유한합이므로 항별 미분이 정당하다: WN′(x)=−∑n=0Nanbnπsin⁡(bnπx)W_N'(x) = -\sum_{n=0}^{N} a^n b^n \pi \sin(b^n \pi x)가 모든 xx에서 존재한다. 예를 들어 W2′(x)=−πsin⁡(πx)−13π2sin⁡(13πx)−169π4sin⁡(169πx)W_2'(x) = -\pi\sin(\pi x) - \frac{13\pi}{2}\sin(13\pi x) - \frac{169\pi}{4}\sin(169\pi x)이다 (a1b1π=13π2a^1 b^1 \pi = \frac{13\pi}{2}, a2b2π=169π4a^2 b^2 \pi = \frac{169\pi}{4}). 화면의 모든 곡선은 매끄러운 함수이다.
  2. 그런데 문제 1의 꼬리 상한 ∣W−WN∣≤(1/2)N→0|W - W_N| \le (1/2)^N \to 0에 의해 WN→WW_N \to W는 R\mathbb{R}에서 균등 수렴이다. 그리고 문제 2에 의해 극한 WW는 어떤 점에서도 미분가능하지 않다.
  3. 따라서 미분가능한 함수들의 균등 극한은 미분가능하지 않을 수 있다 — 연속성은 균등 극한에서 보존되지만(문제 1의 논증), 미분가능성은 그렇지 않다. 이것이 해석학이 항별 미분에 더 강한 수렴(예: 도함수들의 균등 수렴)을 요구하는 이유이다.

9. 미분