테일러 근사

sin⁡x\sin x 위에 매클로린 다항식 Tn(x)T_n(x)을 겹쳐봅니다. 차수를 올리면 곡선에 달라붙습니다.

Tn(x)=∑k=0nf(k)(a)k!(x−a)kT_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k

예제

exe^x의 3차 테일러 다항식으로 ee를 근사하고, 라그랑주 나머지로 오차를 평가하세요.

T3(1)=83≈2.6667,∣R3(1)∣≤e24≈0.1133T_3(1) = \frac{8}{3} \approx 2.6667, \quad |R_3(1)| \le \frac{e}{24} \approx 0.1133
n=3n = 3: 실제 오차 ≈0.0516\approx 0.0516이 상한 0.11330.1133 안에 들어갑니다.
증명 보기
  1. exe^x의 모든 도함수는 exe^x이므로 f(k)(0)=1f^{(k)}(0) = 1입니다. 따라서 T3(x)=1+x+x22+x36T_3(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}이고 T3(1)=83≈2.6667T_3(1) = \frac{8}{3} \approx 2.6667입니다.
  2. 테일러 정리(라그랑주 나머지)에 의해 어떤 c∈(0,1)c \in (0, 1)에 대해 R3(1)=ec4!⋅14R_3(1) = \frac{e^c}{4!} \cdot 1^4입니다. ec<e<2.72e^c < e < 2.72이므로 ∣R3(1)∣<2.7224≈0.1133|R_3(1)| < \frac{2.72}{24} \approx 0.1133입니다.
  3. 실제로 e−83≈0.0516e - \frac{8}{3} \approx 0.0516으로, 상한 안에 들어갑니다.

sin⁡x\sin x의 매클로린 전개에 짝수 차수 항이 없는 이유를 0에서의 도함수로 증명하세요.

sin⁡(2m)(0)=0  ⇒  T2m+1=T2m\sin^{(2m)}(0) = 0 \;\Rightarrow\; T_{2m+1} = T_{2m}
T3(x)=x−x3/6T_3(x) = x - x^3/6 — x2x^2 항이 없습니다.
증명 보기
  1. sin⁡′=cos⁡\sin' = \cos, sin⁡′′=−sin⁡\sin'' = -\sin, sin⁡′′′=−cos⁡\sin''' = -\cos, sin⁡(4)=sin⁡\sin^{(4)} = \sin이므로 0에서의 값은 0,1,0,−10, 1, 0, -1을 4주기로 반복합니다.
  2. 따라서 짝수 차수 도함수는 0에서 모두 0이 되어, 계수 sin⁡(2m)(0)(2m)!=0\frac{\sin^{(2m)}(0)}{(2m)!} = 0입니다.
  3. 즉 T3(x)=x−x36T_3(x) = x - \frac{x^3}{6}에 x2x^2 항이 없고, 일반적으로 T2m+1=T2mT_{2m+1} = T_{2m}입니다 — sin⁡\sin이 홀함수이기 때문입니다.

나머지 Rn(x)→0R_n(x) \to 0이 테일러 급수 수렴의 핵심인 이유를 설명하세요. (아이디어 수준)

f(x)=Tn(x)+Rn(x)f(x) = T_n(x) + R_n(x)
n=9n = 9: 다항식이 [−π,π][-\pi, \pi]에서 곡선과 거의 겹칩니다.
증명 보기
  1. 테일러 정리는 f(x)=Tn(x)+Rn(x)f(x) = T_n(x) + R_n(x)로 분해합니다. 다항식 부분은 우리가 아는 것이고, 모르는 것은 나머지 전부입니다.
  2. Rn(x)→0R_n(x) \to 0일 때 정확히 그때만 Tn(x)→f(x)T_n(x) \to f(x)가 성립합니다. 즉 나머지의 소멸이 곧 급수의 수렴입니다.
  3. sin⁡x\sin x처럼 나머지가 0으로 가는 함수는 전역적으로 테일러 급수와 일치하지만, 그렇지 않은 매끄러운 함수도 존재합니다 — 여기서는 아이디어 수준에서만 언급합니다.

9. 미분