도함수 부호와 단조성

f′f'의 부호가 곡선의 오르내림을 결정합니다: f′>0f' > 0인 구간(초록 배경)에서는 올라가고, f′<0f' < 0인 구간(빨강 배경)에서는 내려갑니다. 점 x0x_0을 드래그해 접선 색이 부호를 따라가는 것을 보세요 — 평균값 정리의 한 걸음 뒤입니다.

f′≥0⇒f increasingf' \ge 0 \Rightarrow f \text{ increasing}
f′(x0)=lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)hf'(x_0) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

예제

ff가 [a,b][a, b]에서 연속이고 (a,b)(a, b)에서 미분 가능하며, (a,b)(a, b)의 모든 점에서 f′≥0f' \ge 0이라고 하세요. ff가 [a,b][a, b]에서 증가함수임을 평균값 정리로 완전히 증명하세요.

f(y)−f(x)=f′(c)(y−x)≥0(x<y, c∈(x,y))f(y) - f(x) = f'(c)(y - x) \ge 0 \quad (x < y,\ c \in (x, y))
f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x, x0=1x_0 = 1: 여기서 f′(1)=0f'(1) = 0이지만 (회색 접선) ff는 전체 구간에서 여전히 증가합니다 — f′≥0f' \ge 0은 등호를 허용하는 조건입니다.
증명 보기
  1. [a,b][a, b]에서 x<yx < y인 두 점을 임의로 잡습니다. ff를 [x,y][x, y]로 제한하면, 제한된 함수는 [x,y][x, y]에서 연속이고 (x,y)(x, y)에서 미분 가능하므로 평균값 정리의 가정을 만족합니다 (원래 가정이 [a,b][a,b] 전체에 대한 것이므로, 부분구간에서도 그대로 성립합니다).
  2. 평균값 정리에 의해 f(y)−f(x)=f′(c)(y−x)f(y) - f(x) = f'(c)(y - x)를 만족하는 c∈(x,y)c \in (x, y)가 존재합니다. 그런데 c∈(a,b)c \in (a, b)이므로 가정에서 f′(c)≥0f'(c) \ge 0이고, y−x>0y - x > 0이므로 곱 f′(c)(y−x)≥0f'(c)(y - x) \ge 0입니다.
  3. 따라서 f(y)−f(x)≥0f(y) - f(x) \ge 0, 즉 f(x)≤f(y)f(x) \le f(y)입니다. x<yx < y가 임의였으므로 ff는 [a,b][a, b]에서 증가함수입니다. 여기서 등호가 허용됨(≤\le)에 주목하세요 — 이것이 다음 문제의 엄격한 부등식과 구분되는 지점입니다.

위와 같은 가정에서 f′>0f' > 0이 (a,b)(a, b)의 모든 점에서 성립하면, ff가 [a,b][a, b]에서 엄격히 증가함수임을 증명하세요.

f(y)−f(x)=f′(c)(y−x)>0(x<y, c∈(x,y))f(y) - f(x) = f'(c)(y - x) > 0 \quad (x < y,\ c \in (x, y))
f(x)=exf(x) = e^x, x0=0x_0 = 0: f′(0)=1>0f'(0) = 1 > 0이고(초록 접선), 도함수가 어디에서도 0이 되지 않으므로 배경 전체가 초록입니다 — 엄격한 증가의 전형입니다.
증명 보기
  1. [a,b][a, b]에서 x<yx < y를 임의로 잡고, 문제 1과 마찬가지로 ff를 [x,y][x, y]에 제한해 평균값 정리를 적용합니다: f(y)−f(x)=f′(c)(y−x)f(y) - f(x) = f'(c)(y - x)인 c∈(x,y)c \in (x, y)가 존재합니다.
  2. 이번에는 가정이 엄격합니다: c∈(a,b)c \in (a, b)이므로 f′(c)>0f'(c) > 0이고, y−x>0y - x > 0이므로 곱 f′(c)(y−x)>0f'(c)(y - x) > 0입니다. 따라서 f(y)−f(x)>0f(y) - f(x) > 0, 즉 f(x)<f(y)f(x) < f(y) — ff는 엄격히 증가합니다.
  3. 문제 1과의 차이는 오직 부등식의 엄격함뿐입니다: f′≥0f' \ge 0은 평평한 구간을 허용하지만(f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x의 x=1x = 1 근처처럼), f′>0f' > 0은 모든 할선의 기울기를 양수로 강제하므로 그래프가 한순간도 멈추지 않습니다.

ff가 구간 II에서 미분 가능하고 증가함수이면, II의 모든 점에서 f′≥0f' \ge 0임을 완전히 증명하세요 (부분 역명제).

f′(x0)=lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)h≥0f'(x_0) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} \ge 0
f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x, x0=−1.25x_0 = -1.25: f′(−1.25)=1.6875>0f'(-1.25) = 1.6875 > 0이고(초록 접선) 함수도 이 근처에서 증가합니다 — 증가 구역에서는 도함수가 음수가 될 수 없습니다.
증명 보기
  1. x0∈Ix_0 \in I를 고정하고 차분몫 f(x0+h)−f(x0)h\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}의 h→0h \to 0 극한을 봅니다. h>0h > 0인 경우 분자 f(x0+h)−f(x0)≥0f(x_0+h) - f(x_0) \ge 0입니다 (ff가 증가하므로) — 분모도 양수라서 차분몫 ≥0\ge 0입니다.
  2. h<0h < 0인 경우도 마찬가지입니다: 증가성에 의해 f(x0+h)≤f(x0)f(x_0+h) \le f(x_0)이므로 분자 ≤0\le 0이고, 분모 h<0h < 0이므로 음수를 음수로 나눈 차분몫은 역시 ≥0\ge 0입니다. 즉 0이 아닌 모든 hh에 대해 차분몫이 음이 아닙니다.
  3. 극한은 약한 부등식을 보존합니다: g(h)≥0g(h) \ge 0이고 lim⁡h→0g(h)=L\lim_{h \to 0} g(h) = L이 존재하면 L≥0L \ge 0입니다 (만약 L<0L < 0이면 g(h)g(h)가 결국 L/2<0L/2 < 0 근처에 머물러 모순). ff가 미분 가능하므로 극한 f′(x0)f'(x_0)이 존재하고, 따라서 f′(x0)≥0f'(x_0) \ge 0입니다. x0x_0이 임의였으므로 II 전체에서 f′≥0f' \ge 0입니다.
  4. 이것은 완전한 역명제가 아닙니다: f(x)=x3f(x) = x^3은 R\mathbb{R}에서 엄격히 증가하지만 f′(0)=0f'(0) = 0이므로, 증가함수라고 해서 f′>0f' > 0까지는 보장되지 않습니다. 얻을 수 있는 것은 f′≥0f' \ge 0뿐입니다.

9. 미분