다르부 정리

도함수는 불연속이어도 중간값 성질을 갖습니다 — f(x)=x2sin⁡(1/x)f(x) = x^2\sin(1/x)의 f′(x)=2xsin⁡(1/x)−cos⁡(1/x)f'(x) = 2x\sin(1/x) - \cos(1/x)는 0 근처에서 격렬히 진동하면서도 모든 높이를 밟습니다. 점프 불연속은 도함수에서 불가능합니다.

f′(x)=2xsin⁡(1/x)−cos⁡(1/x), f′(0)=0f'(x) = 2x\sin(1/x) - \cos(1/x),\ f'(0) = 0
f′(a)<c<f′(b)⇒∃ ξ∈(a,b): f′(ξ)=cf'(a) < c < f'(b) \Rightarrow \exists\, \xi \in (a,b):\ f'(\xi) = c

이 씬이 포함된 학습 경로

예제

다르부 정리를 증명하세요: ff가 [a,b][a,b]에서 미분가능하면 f′f'은 f′(a)f'(a)와 f′(b)f'(b) 사이의 모든 값을 취합니다. (힌트: 극값 정리 장면(최댓값 정리)과 페르마 내부 극값 보조정리를 사용하세요.)

g(x)=f(x)−cx,g′(a)<0<g′(b) ⟹ ∃ x0∈(a,b): g′(x0)=0g(x) = f(x) - cx,\qquad g'(a) < 0 < g'(b)\ \Longrightarrow\ \exists\, x_0 \in (a,b):\ g'(x_0) = 0
g′(x0)=0 ⟹ f′(x0)=cg'(x_0) = 0\ \Longrightarrow\ f'(x_0) = c
줌 70 (창 [±0.004][\pm 0.004]), 테스트 높이 y=0.4y = 0.4: 불연속인 f′f'이 이 창에서 수평선을 704번 만난다 (그리드 기준) — 다르부 성질의 현장.
증명 보기
  1. 먼저 페르마 보조정리: gg가 내부 점 x0∈(a,b)x_0 \in (a,b)에서 극댓값(또는 극솟값)을 갖고 g′(x0)g'(x_0)이 존재하면 g′(x0)=0g'(x_0) = 0이다. 극솟값인 경우, h>0h > 0이 작을 때 g(x0+h)−g(x0)h≥0\frac{g(x_0+h)-g(x_0)}{h} \geq 0이고 h<0h < 0일 때는 ≤0\leq 0이므로, 양쪽 극한이 존재하는 도함수는 0일 수밖에 없다. 극댓값도 부호를 뒤집어 같다.
  2. f′(a)<f′(b)f'(a) < f'(b)라 하자 (>>인 경우는 −f-f에 적용하고, 같은 경우는 자명하다). f′(a)f'(a)와 f′(b)f'(b) 사이의 cc를 고정하고 g(x)=f(x)−cxg(x) = f(x) - cx라 두면 gg는 [a,b][a,b]에서 미분가능하므로 연속이고, g′(x)=f′(x)−cg'(x) = f'(x) - c라서 g′(a)<0<g′(b)g'(a) < 0 < g'(b)이다. 극값 정리(최댓값 정리 장면)에 의해 gg는 [a,b][a,b]에서 최솟값을 어떤 x0x_0에서 취한다.
  3. x0x_0는 내부 점이다: g′(a)<0g'(a) < 0이므로 g(a+h)−g(a)h→g′(a)<0\frac{g(a+h)-g(a)}{h} \to g'(a) < 0이라 작은 h>0h > 0에 대해 g(a+h)<g(a)g(a+h) < g(a)이다 — aa는 최소점이 아니다. 마찬가지로 g′(b)>0g'(b) > 0이라 작은 h>0h > 0에 대해 g(b−h)<g(b)g(b-h) < g(b)이다 — bb도 최소점이 아니다. 따라서 x0∈(a,b)x_0 \in (a,b)이다.
  4. 페르마 보조정리를 내부 최소점 x0x_0에 적용하면 g′(x0)=0g'(x_0) = 0이고, 따라서 f′(x0)=cf'(x_0) = c이다. cc는 f′(a)f'(a)와 f′(b)f'(b) 사이의 임의의 값이었으므로 f′f'은 중간값 성질을 갖는다 — 불연속일 수도 있는데도 말이다.

f(x)=x2sin⁡(1/x)f(x) = x^2\sin(1/x) (x≠0x \neq 0), f(0)=0f(0) = 0이 모든 점에서 미분가능하지만, 도함수 f′f'은 00에서 불연속임을 증명하세요. (f′(0)f'(0)은 정의로, x≠0x \neq 0에서의 f′(x)f'(x)는 곱·합성 미분법으로 구하세요.)

f′(0)=lim⁡h→0f(h)−f(0)h=lim⁡h→0hsin⁡(1/h)=0f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)-f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} h\sin(1/h) = 0
f′(x)=2xsin⁡(1/x)−cos⁡(1/x)(x≠0)f'(x) = 2x\sin(1/x) - \cos(1/x) \quad (x \neq 0)
ak=12kπ: f′(ak)=−1,bk=1(2k+1)π: f′(bk)=1(ak,bk→0)a_k = \frac{1}{2k\pi}:\ f'(a_k) = -1, \qquad b_k = \frac{1}{(2k+1)\pi}:\ f'(b_k) = 1 \quad (a_k, b_k \to 0)
줌 100 (창 [±0.0005][\pm 0.0005]), y=0y = 0: 원점을 아무리 확대해도 −cos⁡(1/x)-\cos(1/x) 진동은 가라앉지 않는다 — 이 창에서 f′f'과 수평선의 교차가 1579번 (그리드 기준).
증명 보기
  1. f′(0)f'(0)을 정의로 구한다: f(h)−f(0)h=h2sin⁡(1/h)h=hsin⁡(1/h)\frac{f(h)-f(0)}{h} = \frac{h^2\sin(1/h)}{h} = h\sin(1/h)이고 ∣hsin⁡(1/h)∣≤∣h∣|h\sin(1/h)| \leq |h|이므로 조임 정리로 극한은 00이다. 수치로도 확인된다: h=0.01h = 0.01에서 ≈−0.00506\approx -0.00506, h=10−6h = 10^{-6}에서 ≈−3.5×10−7\approx -3.5 \times 10^{-7}이다. 따라서 f′(0)=0f'(0) = 0이다.
  2. x≠0x \neq 0에서는 곱의 법칙과 합성함수 미분법으로 f′(x)=2xsin⁡(1/x)+x2cos⁡(1/x)⋅(−1/x2)=2xsin⁡(1/x)−cos⁡(1/x)f'(x) = 2x\sin(1/x) + x^2\cos(1/x)\cdot(-1/x^2) = 2x\sin(1/x) - \cos(1/x)이다. 따라서 ff는 00을 포함한 모든 점에서 미분가능하다.
  3. 그러나 lim⁡x→0f′(x)\lim_{x \to 0} f'(x)는 존재하지 않는다. ak=12kπ→0a_k = \frac{1}{2k\pi} \to 0에서는 sin⁡(1/ak)=0\sin(1/a_k) = 0, cos⁡(1/ak)=1\cos(1/a_k) = 1이므로 f′(ak)=−1f'(a_k) = -1이고, bk=1(2k+1)π→0b_k = \frac{1}{(2k+1)\pi} \to 0에서는 sin⁡(1/bk)=0\sin(1/b_k) = 0, cos⁡(1/bk)=−1\cos(1/b_k) = -1이므로 f′(bk)=1f'(b_k) = 1이다 (예: k=5,10,20k = 5, 10, 20에서 정확히 −1.000000-1.000000과 1.0000001.000000). 극한이 존재한다면 −1-1과 11을 동시에 가져야 하므로 모순이다.
  4. f′(0)=0f'(0) = 0인데 lim⁡x→0f′(x)\lim_{x \to 0} f'(x)가 존재하지 않으므로 f′f'은 00에서 불연속이다 — 미분가능한 함수의 도함수가 반드시 연속인 것은 아니다. 그런데도 문제 1의 다르부 정리에 의해 이 불연속인 f′f'은 여전히 중간값 성질을 갖는다.

다르부 정리의 따름정리로 증명하세요: 어떤 함수도 헤비사이드 계단함수 HH (x<0x < 0에서 00, x≥0x \geq 0에서 11)를 도함수로 가질 수 없습니다.

F′=H,F′(−1)=0<12<1=F′(1) →Darboux ∃ ξ∈(−1,1): F′(ξ)=12∉{0,1} ⇒⇐F' = H,\quad F'(-1) = 0 < \tfrac12 < 1 = F'(1)\ \xrightarrow{\text{Darboux}}\ \exists\, \xi \in (-1,1):\ F'(\xi) = \tfrac12 \notin \{0,1\}\ \Rightarrow\Leftarrow
줌 0 (창 [±0.5][\pm 0.5]), y=0.5y = 0.5: 격렬히 진동하는 f′f'도 이 높이를 46번 지난다 (그리드 기준) — 도함수의 불연속은 점프가 아니라 진동뿐이다.
증명 보기
  1. HH를 도함수로 갖는 함수 FF가 R\mathbb{R} 전체에서 미분가능하게 존재한다고 가정하자. a=−1a = -1, b=1b = 1을 잡으면 F′(−1)=H(−1)=0F'(-1) = H(-1) = 0이고 F′(1)=H(1)=1F'(1) = H(1) = 1이다. 0<12<10 < \frac{1}{2} < 1이므로 다르부 정리(문제 1)에 의해 어떤 ξ∈(−1,1)\xi \in (-1,1)에 대해 F′(ξ)=12F'(\xi) = \frac{1}{2}이다.
  2. 그러나 HH는 값 00과 11만을 취하므로 F′(ξ)=H(ξ)=12F'(\xi) = H(\xi) = \frac{1}{2}일 수 없다 — 모순이다. 따라서 HH를 도함수로 갖는 함수는 존재하지 않는다.
  3. 일반적으로: 도함수는 점프 불연속을 가질 수 없다. 좌극한과 우극한이 존재하면서 서로 다른 불연속점에서는 그 사이의 값을 도함수가 취해야 하는데(다르부), 계단함수는 그 값을 취하지 않기 때문이다. 도함수의 불연속은 문제 2의 −cos⁡(1/x)-\cos(1/x)처럼 essential discontinuity뿐이다.

9. 미분