9. 미분

미분의 정의에서 평균값 정리·로피탈 정리·테일러 전개까지, 미분학의 핵심을 다룹니다.

• 미분가능 ⇒ 연속 — 미분가능하면 연속이지만, 역은 성립하지 않습니다 — $|x|$의 모서리를 확대해도 펴지지 않는 것을 보세요. 미분 장면들의 첫걸음입니다.
• 평균값 정리 — 기울기가 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$인 할선과 평행한 접선이 곡선 위에 반드시 존재합니다. $\xi$를 움직여보세요.
• 코시 평균값 정리 — 매개곡선 $(g(t), f(t))$ 위에 할선과 평행한 접선이 존재합니다. $f(t) = t^2$, $g(t) = t^3$인 경우 그 점은 $\xi = 14/9$입니다.
• 로피탈 정리 — $0/0$이나 $\infty/\infty$ 꼴에서는 분자와 분모를 각각 미분해도 극한이 같습니다. $x$를 한계점으로 보내며 $\frac{f(x)}{g(x)}$가 $\frac{f'(x)}{g'(x)}$를 따라가는 것을 보세요.
• 다르부 정리 — 도함수는 불연속이어도 중간값 성질을 갖습니다 — $f(x) = x^2\sin(1/x)$의 $f'(x) = 2x\sin(1/x) - \cos(1/x)$는 0 근처에서 격렬히 진동하면서도 모든 높이를 밟습니다. 점프 불연속은 도함수에서 불가능합니다.
• 바이어슈트라스 함수 — $W(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n\cos(b^n\pi x)$ — 모든 점에서 연속이지만 어느 점에서도 미분 불가능합니다. M-판정법 장면이 연속성의 엔진이고, 부분합이 늘어날수록 그래프는 가시처럼 뾰족해집니다. 미분 불가능성의 완전한 증명은 아이디어 수준에서만 다룹니다.
• 테일러 근사 — $\sin x$ 위에 매클로린 다항식 $T_n(x)$을 겹쳐봅니다. 차수를 올리면 곡선에 달라붙습니다.
• 테일러 정리: 나머지 상한 — 오차 $R_n(x)$는 띠 $T_n(x) \pm |x|^{n+1}/(n+1)!$ 안에 갇힙니다. $n$을 키우면 띠가 0으로 쪼그라듭니다.
• 볼록함수 — 현이 그래프 위에 뜨면 볼록 — 미분 가능할 때는 $f'$ 증가와 동치이고, 이계도함수 부호로 판정합니다. 옌센 부등식까지.
• 뉴턴법 — 접선을 타고 내려가면 근에 닿습니다. 오차의 정확한 자릿수가 매 단계 두 배가 됩니다.
• 바나흐 고정점 — $y = x$와 $y = f(x)$ 사이를 오가는 거미줄이 한 점으로 빨려듭니다. 오차는 $q^n$으로 줄어듭니다.