균등수렴 vs 점별수렴

fn(x)=xnf_n(x)=x^n은 [0,1][0,1]의 각 점에서는 수렴하지만, sup⁡∣fn−f∣=1↛0\sup|f_n-f|=1\not\to 0이라 균등하게 수렴하지는 않습니다. 극한함수가 x=1x=1에서 끊어지는 모습을 확인합니다.

fn(x)=xn→f(x)={0x<11x=1f_n(x)=x^n\to f(x)=\begin{cases}0&x<1\\1&x=1\end{cases}
sup⁡[0,1]∣fn−f∣=1↛0\sup_{[0,1]}|f_n-f|=1\not\to 0

이 씬이 포함된 학습 경로

예제

fn(x)=xnf_n(x) = x^n ([0,1][0,1])의 점별 극한함수를 구하세요: [0,1)[0,1)에서는 00, x=1x = 1에서는 11임을 증명하세요.

f(x)={00≤x<11x=1f(x) = \begin{cases} 0 & 0 \leq x < 1 \\ 1 & x = 1 \end{cases}
n=8n = 8 — 곡선은 00에 달라붙다가 x=1x = 1에서 솟구칩니다.
증명 보기
  1. x=1x = 1에서는 모든 nn에 대해 fn(1)=1n=1f_n(1) = 1^n = 1이므로 극한은 11입니다.
  2. x=0x = 0에서는 자명하게 00으로 수렴합니다. 0<x<10 < x < 1인 경우, t=1x>1t = \frac1x > 1이라 두면 t=1+ht = 1 + h (h>0h > 0)로 쓸 수 있고, 베르누이 부등식으로 tn≥1+nht^n \geq 1 + nh입니다. 따라서 0≤xn=1tn≤11+nh→00 \leq x^n = \frac{1}{t^n} \leq \frac{1}{1+nh} \to 0이므로 조임 정리로 xn→0x^n \to 0입니다.
  3. 따라서 점별 극한함수는 [0,1)[0,1)에서 00, x=1x = 1에서 11이며, x=1x = 1에서 불연속입니다. 연속함수들의 점별 극한이 불연속일 수 있다는 첫 번째 경고입니다.

모든 nn에 대해 sup⁡[0,1]∣fn−f∣=1\sup_{[0,1]} |f_n - f| = 1임을 증명하고, 따라서 이 수렴이 균등하지 않음을 결론지으세요.

sup⁡[0,1]∣fn−f∣=1↛0\sup_{[0,1]} |f_n - f| = 1 \not\to 0
n=8n = 8, ε=0.2\varepsilon = 0.2 — 차트는 격자 위에서 최댓값 ≈0.98\approx 0.98을 읽지만, 정확한 상한은 11입니다 (달성되지는 않습니다).
증명 보기
  1. [0,1)[0,1)에서 ∣fn−f∣=xn|f_n - f| = x^n이고 x=1x = 1에서는 00이므로, sup⁡[0,1]∣fn−f∣=sup⁡[0,1)xn\sup_{[0,1]} |f_n - f| = \sup_{[0,1)} x^n입니다.
  2. x<1x < 1이면 xn<1x^n < 1이므로 상한은 11 이하입니다. 한편 x→1−x \to 1^{-}일 때 xn→1x^n \to 1이므로 (거듭제곱함수의 연속성), 11보다 작은 어떤 수도 상계가 될 수 없습니다. 따라서 상한은 정확히 11입니다.
  3. 균등수렴은 sup⁡∣fn−f∣→0\sup |f_n - f| \to 0을 요구하는데, 여기서는 모든 nn에 대해 그 값이 11로 고정되어 있습니다. 따라서 (xn)(x^n)은 균등수렴하지 않습니다.

연속함수열이 균등수렴하면 그 극한함수도 연속임을 ε/3\varepsilon/3 논법으로 증명하세요.

∣f(x)−f(x0)∣≤ε3+ε3+ε3=ε|f(x) - f(x_0)| \leq \tfrac{\varepsilon}{3} + \tfrac{\varepsilon}{3} + \tfrac{\varepsilon}{3} = \varepsilon
n=30n = 30 — xnx^n에서는 어떤 NN도 모든 xx에 동시에 통하지 않습니다. 균등수렴이란 바로 그 '동시성'입니다.
증명 보기
  1. 각 fnf_n이 연속이고 fn→ff_n \to f가 균등수렴한다고 하자. x0x_0와 ε>0\varepsilon > 0을 고정한다.
  2. 균등수렴에 의해 sup⁡∣fN−f∣<ε3\sup |f_N - f| < \frac{\varepsilon}{3}인 NN이 존재한다. 이 NN을 고정한다.
  3. fNf_N은 x0x_0에서 연속이므로, ∣x−x0∣<δ|x - x_0| < \delta이면 ∣fN(x)−fN(x0)∣<ε3|f_N(x) - f_N(x_0)| < \frac{\varepsilon}{3}인 δ>0\delta > 0이 존재한다.
  4. ∣x−x0∣<δ|x - x_0| < \delta일 때 삼각부등식으로 ∣f(x)−f(x0)∣≤∣f(x)−fN(x)∣+∣fN(x)−fN(x0)∣+∣fN(x0)−f(x0)∣<ε3+ε3+ε3=ε|f(x) - f(x_0)| \leq |f(x) - f_N(x)| + |f_N(x) - f_N(x_0)| + |f_N(x_0) - f(x_0)| < \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon이다. 따라서 ff는 x0x_0에서 연속이다. x0x_0가 임의였으므로 ff는 연속이다.

3. 연속함수