균등연속

균등연속에서는 하나의 δ\delta가 모든 점 xx에서 통한다 — δ\delta는 ε\varepsilon에만 의존하고 xx에는 의존하지 않는다. f(x)=x2f(x) = x^2에서는 xx가 커질수록 필요한 δ\delta가 줄어들어 R\mathbb{R} 전체를 감당하는 δ\delta가 없음을 직접 확인해 보자.

δ=x2+ε−∣x∣\delta = \sqrt{x^2+\varepsilon} - \lvert x\rvert
δ=ε/2\delta = \varepsilon / 2

이 씬이 포함된 학습 경로

예제

립시츠 함수(∣f(x)−f(y)∣≤L∣x−y∣\lvert f(x)-f(y)\rvert \leq L\lvert x-y\rvert인 LL이 존재)는 균등연속임을 증명하세요.

δ=ε/L\delta = \varepsilon / L
f(x)=2xf(x) = 2x, x=2x = 2, ε=0.5\varepsilon = 0.5 — 상수 L=2L = 2인 립시츠 함수.
증명 보기
  1. ff가 상수 L≥0L \geq 0에 대해 립시츠라 하자. L=0L = 0이면 ff는 상수함수이므로 아무 δ>0\delta > 0나 된다. L>0L > 0이라 하자.
  2. ε>0\varepsilon > 0이 주어지면 δ=ε/L\delta = \varepsilon/L이라 둔다 — δ\delta는 ε\varepsilon에만 의존하고 xx와는 무관하다.
  3. ∣x−y∣<δ\lvert x - y\rvert < \delta인 임의의 x,yx, y에 대해 ∣f(x)−f(y)∣≤L∣x−y∣<Lδ=ε\lvert f(x) - f(y)\rvert \leq L\lvert x - y\rvert < L\delta = \varepsilon이다.
  4. 따라서 같은 δ\delta가 모든 점 xx에서 통하므로 ff는 균등연속이다.

f(x)=x2f(x)=x^2이 [0,1][0,1]에서 균등연속임을 증명하세요.

∣x2−y2∣=∣x−y∣∣x+y∣≤2∣x−y∣\lvert x^2-y^2\rvert = \lvert x-y\rvert\lvert x+y\rvert \leq 2\lvert x-y\rvert
x=0.5x = 0.5, ε=0.5\varepsilon = 0.5 — [0,1][0,1] 안에서는 δ=ε/2\delta = \varepsilon/2 하나로 충분하다.
증명 보기
  1. x,y∈[0,1]x, y \in [0,1]이라 하자. ∣x2−y2∣=∣x−y∣∣x+y∣\lvert x^2 - y^2\rvert = \lvert x - y\rvert \lvert x + y\rvert이고 x+y≤2x + y \leq 2이므로 ∣x2−y2∣≤2∣x−y∣\lvert x^2 - y^2\rvert \leq 2\lvert x - y\rvert이다 — 즉 x2x^2은 [0,1][0,1]에서 상수 22인 립시츠 함수이다.
  2. ε>0\varepsilon > 0이 주어지면 δ=ε/2\delta = \varepsilon/2라 둔다 — xx에 의존하지 않는다. ∣x−y∣<δ\lvert x - y\rvert < \delta이면 ∣x2−y2∣≤2∣x−y∣<2δ=ε\lvert x^2 - y^2\rvert \leq 2\lvert x - y\rvert < 2\delta = \varepsilon이다.
  3. 따라서 f(x)=x2f(x) = x^2은 [0,1][0,1]에서 균등연속이다. — 유계 구간에서는 "기울기 인자" ∣x+y∣\lvert x + y\rvert가 제한되므로 하나의 δ\delta로 충분하다.

f(x)=x2f(x)=x^2이 R\mathbb{R}에서 균등연속이 아님을 증명하세요.

xn=n,yn=n+δ/2x_n = n,\quad y_n = n + \delta/2
x=3x = 3, ε=0.5\varepsilon = 0.5 — 큰 xx에서는 허용 δ\delta가 극히 작아진다.
증명 보기
  1. ε0=1\varepsilon_0 = 1이라 하자. δ>0\delta > 0을 임의로 잡는다 — ε0\varepsilon_0에만 의존하는 δ\delta라면 모든 점쌍에서 통해야 한다.
  2. 1/δ<n1/\delta < n인 정수 nn을 잡고 x=nx = n, y=n+δ/2y = n + \delta/2라 두자. 그러면 ∣x−y∣=δ/2<δ\lvert x - y\rvert = \delta/2 < \delta이다.
  3. 그런데 ∣x2−y2∣=∣y−x∣∣y+x∣=δ2(2n+δ2)=nδ+δ24>1=ε0\lvert x^2 - y^2\rvert = \lvert y - x\rvert \lvert y + x\rvert = \frac{\delta}{2}\left(2n + \frac{\delta}{2}\right) = n\delta + \frac{\delta^2}{4} > 1 = \varepsilon_0이다 — n>1/δn > 1/\delta이므로 nδ>1n\delta > 1이기 때문이다.
  4. 따라서 모든 점쌍에서 통하는 δ\delta는 존재하지 않으므로 f(x)=x2f(x) = x^2은 R\mathbb{R}에서 균등연속이 아니다. — 큰 xx에서 필요한 δ\delta가 0으로 수렴하기 때문이다.

3. 연속함수