단조함수의 불연속점

단조함수는 모든 점에서 좌극한과 우극한을 가지므로, 불연속점은 모두 점프입니다. 점프 크기가 1/n1/n을 넘는 점은 유한 개뿐이므로, 불연속점은 아무리 많아도 가산 개입니다.

f(x−)=sup⁡t<xf(t),f(x+)=inf⁡t>xf(t)f(x-) = \sup_{t<x} f(t), \qquad f(x+) = \inf_{t>x} f(t)
#{x:f(x+)−f(x−)>1/n}≤n (f(b)−f(a))\#\{x : f(x+) - f(x-) > 1/n\} \le n\,(f(b) - f(a))

예제

단조증가함수 ff가 [a,b][a, b]에서 정의될 때, 각 점 x∈(a,b]x \in (a, b]에서 왼쪽 극한 f(x−)=sup⁡{f(t):t<x}f(x-) = \sup\{f(t) : t < x\}가 존재하고, 각 점 x∈[a,b)x \in [a, b)에서 오른쪽 극한 f(x+)=inf⁡{f(t):t>x}f(x+) = \inf\{f(t) : t > x\}가 존재함을 보이세요.

f(x−)=sup⁡{f(t):t<x},f(x+)=inf⁡{f(t):t>x}f(x-) = \sup\{f(t) : t < x\}, \qquad f(x+) = \inf\{f(t) : t > x\}
f(x−)≤f(x)≤f(x+)(left limit is left-continuous)f(x-) \le f(x) \le f(x+) \quad \text{(left limit is left-continuous)}
x=q1=12x = q_1 = \frac{1}{2}에서 f(12−)=f(12)≈0.8373474478721619f(\frac{1}{2}-) = f(\frac{1}{2}) \approx 0.8373474478721619, 점프 f(12+)−f(12)=2−1=12f(\frac{1}{2}+) - f(\frac{1}{2}) = 2^{-1} = \frac{1}{2} — 왼쪽 극한은 값과 일치하고 오른쪽에서만 올라갑니다.
증명 보기
  1. t<xt < x인 모든 tt에 대해 단조성에 의해 f(t)≤f(x)f(t) \le f(x)입니다. 따라서 집합 {f(t):t<x}\{f(t) : t < x\}는 f(x)f(x)를 상계로 갖는 공집합이 아닌 유계 집합이므로, 완비성에 의해 상한 f(x−):=sup⁡{f(t):t<x}f(x-) := \sup\{f(t) : t < x\}이 실수로서 존재합니다.
  2. 이 상한이 실제로 왼쪽 극한임을 확인합니다. ε>0\varepsilon > 0에 대해 상한의 정의에 의해 f(t0)>f(x−)−εf(t_0) > f(x-) - \varepsilon인 t0<xt_0 < x가 존재합니다. 단조성에 의해 t0<t<xt_0 < t < x이면 f(t0)≤f(t)≤f(x−)<f(x−)+εf(t_0) \le f(t) \le f(x-) < f(x-) + \varepsilon이므로 ∣f(t)−f(x−)∣<ε|f(t) - f(x-)| < \varepsilon — 즉 lim⁡t↑xf(t)=f(x−)\lim_{t \uparrow x} f(t) = f(x-)입니다.
  3. 오른쪽도 대칭적입니다: {f(t):t>x}\{f(t) : t > x\}는 f(x)f(x)를 하계로 갖는 유계 집합이므로 하한 f(x+):=inf⁡{f(t):t>x}f(x+) := \inf\{f(t) : t > x\}이 존재하고, 같은 ε\varepsilon 논증으로 lim⁡t↓xf(t)=f(x+)\lim_{t \downarrow x} f(t) = f(x+)입니다. 따라서 단조함수는 모든 점에서 양쪽 극한을 갖습니다.
  4. 덧붙이면 f(x−)≤f(x)≤f(x+)f(x-) \le f(x) \le f(x+)이 항상 성립합니다: t<xt < x인 모든 tt에 대해 f(t)≤f(x)f(t) \le f(x)이므로 상한을 취하면 f(x−)≤f(x)f(x-) \le f(x)이고, 오른쪽도 마찬가지입니다. 이 예에서는 x=q1=12x = q_1 = \frac{1}{2}에서 왼쪽 등호가 성립합니다 (f(12−)=f(12)≈0.8373474478721619f(\frac{1}{2}-) = f(\frac{1}{2}) \approx 0.8373474478721619), 오른쪽은 12\frac{1}{2}만큼 점프합니다.

[a,b][a, b]에서 단조인 ff의 불연속점은 최대 가산개임을 보이세요. 힌트: 점프 j(x)=f(x+)−f(x−)≥0j(x) = f(x+) - f(x-) \ge 0의 합이 f(b)−f(a)f(b) - f(a)를 넘지 않음을 보이고, {x:j(x)>1/n}\{x : j(x) > 1/n\}이 최대 n(f(b)−f(a))n(f(b) - f(a))개의 점을 갖는 유한집합임을 이용하세요.

j(x):=f(x+)−f(x−)≥0,∑xj(x)≤f(b)−f(a)j(x) := f(x+) - f(x-) \ge 0, \qquad \sum_{x} j(x) \le f(b) - f(a)
D=⋃n=1∞{x:j(x)>1n}countable union of finite setsD = \bigcup_{n=1}^{\infty} \left\{x : j(x) > \frac{1}{n}\right\} \quad \text{countable union of finite sets}
n=4n = 4 (임계값 14\frac{1}{4}): 점프가 14\frac{1}{4}을 초과하는 점은 k=1k = 1 (크기 12\frac{1}{2}) 하나뿐 — 상한 4(f(1)−f(0))≈7.9999997615814214(f(1) - f(0)) \approx 7.999999761581421 이하입니다 (2−2=142^{-2} = \frac{1}{4}은 >14>\frac{1}{4}이 아닙니다).
증명 보기
  1. 먼저 불연속점은 점프에서만 생깁니다. 예제 1에서 f(x−)f(x-)와 f(x+)f(x+)가 항상 존재하므로, lim⁡t→xf(t)=f(x)\lim_{t \to x} f(t) = f(x)가 실패하려면 f(x−)<f(x+)f(x-) < f(x+)이어야 합니다 — 제거가능 불연속점도, 진동 불연속점도 불가능하고 오직 점프 j(x)=f(x+)−f(x−)>0j(x) = f(x+) - f(x-) > 0만 남습니다.
  2. 유한 개의 점 x1<⋯<xmx_1 < \cdots < x_m에 대해 각 점프 구간 [f(xi−),f(xi+)][f(x_i-), f(x_i+)]은 서로 겹치지 않고 (단조성에 의해 순서대로 배치됨), 모두 [f(a),f(b)][f(a), f(b)] 안에 들어갑니다. 따라서 ∑i=1mj(xi)≤f(b)−f(a)\sum_{i=1}^{m} j(x_i) \le f(b) - f(a)이고, mm이 임의이므로 전체 점프의 합도 ∑xj(x)≤f(b)−f(a)\sum_x j(x) \le f(b) - f(a)를 만족합니다.
  3. 고정된 nn에 대해 j(x)>1nj(x) > \frac{1}{n}인 점이 mnm_n개 있다면 ∑j(x)≥mn⋅1n\sum j(x) \ge m_n \cdot \frac{1}{n}이므로 mn≤n(f(b)−f(a))m_n \le n(f(b) - f(a)) — 유한집합입니다. 그런데 불연속점 집합 D={x:j(x)>0}=⋃n=1∞{x:j(x)>1n}D = \{x : j(x) > 0\} = \bigcup_{n=1}^{\infty} \{x : j(x) > \frac{1}{n}\}은 유한집합들의 가산합집합이므로 최대 가산개입니다.
  4. 수치 확인 (terms=24terms = 24, n=4n = 4): 점프는 2−k2^{-k} (k=1,…,24k = 1, \dots, 24)이며, 14\frac{1}{4}을 초과하는 것은 2−1=122^{-1} = \frac{1}{2} 하나뿐입니다 (2−2=142^{-2} = \frac{1}{4}은 엄격한 초과가 아닙니다). 상한 4(f(1)−f(0))≈7.9999997615814214(f(1) - f(0)) \approx 7.999999761581421와 비교하면 1≤7.999…1 \le 7.999\ldots — 정리가 예언한 대로입니다.

(qk)(q_k)가 (0,1)(0, 1)의 유리수 열거이고, g(x)=∑k:qk<x2−kg(x) = \sum_{k : q_k < x} 2^{-k}라 하자. gg가 [0,1][0, 1]에서 단조증가이며 유리수에서 정확히 불연속이고 무리수에서는 연속임을 보이세요.

g(x)=∑k:qk<x2−k,g(qm+)−g(qm)=2−mg(x) = \sum_{k : q_k < x} 2^{-k}, \qquad g(q_m+) - g(q_m) = 2^{-m}
if x∉Q and N large, ∑k>N2−k<ε and δ=dist⁡(x,{q1,…,qN})>0\text{if } x \notin \mathbb{Q} \text{ and } N \text{ large, } \sum_{k > N} 2^{-k} < \varepsilon \text{ and } \delta = \operatorname{dist}(x, \{q_1, \dots, q_N\}) > 0
x=q3=23x = q_3 = \frac{2}{3}에서 g(23)≈0.841285169124603g(\frac{2}{3}) \approx 0.841285169124603, 점프 2−3=18=0.1252^{-3} = \frac{1}{8} = 0.125만큼 위로 — g(23+)≈0.966285169124603g(\frac{2}{3}+) \approx 0.966285169124603.
증명 보기
  1. 급수는 항상 수렴합니다: 0≤∑k:qk<x2−k≤∑k=1∞2−k=10 \le \sum_{k : q_k < x} 2^{-k} \le \sum_{k=1}^{\infty} 2^{-k} = 1이므로 g(x)g(x)가 잘 정의되고 [0,1][0, 1]에 값을 갖습니다. x<yx < y이면 {k:qk<x}⊆{k:qk<y}\{k : q_k < x\} \subseteq \{k : q_k < y\}이므로 합의 항이 더 늘어나 g(x)≤g(y)g(x) \le g(y) — gg는 단조증가입니다.
  2. x=qmx = q_m이라 합시다. g(qm)g(q_m)의 합에는 k=mk = m이 들어가지 않지만 (조건 qk<qmq_k < q_m은 qmq_m 자신을 제외), t↓qmt \downarrow q_m이면 결국 모든 t>qmt > q_m에 대해 qm<tq_m < t가 되어 2−m2^{-m}이 추가됩니다. 따라서 g(qm+)=g(qm)+2−mg(q_m+) = g(q_m) + 2^{-m} — gg는 qmq_m에서 12m\frac{1}{2^m}만큼 점프하므로 불연속입니다.
  3. 이제 xx가 무리수라 합시다. ε>0\varepsilon > 0에 대해 ∑k>N2−k<ε\sum_{k > N} 2^{-k} < \varepsilon인 NN을 택합니다 (꼬리가 0으로 가므로 가능). xx가 무리수이므로 δ:=min⁡1≤k≤N∣x−qk∣>0\delta := \min_{1 \le k \le N} |x - q_k| > 0입니다. ∣t−x∣<δ|t - x| < \delta이면 q1,…,qNq_1, \dots, q_N 중 xx와 tt 사이에 끼는 것이 없어, g(t)−g(x)g(t) - g(x)의 차이는 꼬리 ∑k>N2−k\sum_{k > N} 2^{-k} 이하 — 즉 ∣g(t)−g(x)∣<ε|g(t) - g(x)| < \varepsilon이므로 gg는 xx에서 연속입니다.
  4. 따라서 gg는 모든 유리수에서 불연속이고 모든 무리수에서 연속입니다 — 단조함수가 조밀한 가산집합에서 불연속일 수 있는 (그리고 예제 2에 의해 조밀한 집합보다 더 많이는 안 되는) 구체적 예입니다. 수치적으로 q3=23q_3 = \frac{2}{3}에서 g(23)≈0.841285169124603g(\frac{2}{3}) \approx 0.841285169124603, g(23+)≈0.966285169124603g(\frac{2}{3}+) \approx 0.966285169124603 — 차이 0.125=2−30.125 = 2^{-3}이 캡션의 점프와 일치합니다.

3. 연속함수