연속성의 세 가지 얼굴

연속성은 세 가지 얼굴을 가집니다: ε\varepsilon-δ\delta 논법, 수열을 통한 판정, 열린 집합의 역상. f(x)=x2f(x) = x^2와 점프 함수를 나란히 두어 세 얼굴이 같은 말을 하고 있음을 확인합니다.

∀ε>0 ∃δ>0: ∣x−x0∣<δ⇒∣f(x)−f(x0)∣<ε\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0:\ \lvert x-x_0\rvert<\delta \Rightarrow \lvert f(x)-f(x_0)\rvert<\varepsilon
xn→x0⇒f(xn)→f(x0)x_n \to x_0 \Rightarrow f(x_n) \to f(x_0)
f continuous  ⟺  f−1(V) open for every open Vf \text{ continuous} \iff f^{-1}(V) \text{ open for every open } V

예제

ff가 x0x_0에서 ε\varepsilon-δ\delta 연속이면 수열 연속(sequence continuity)도 성립함을 완전히 증명하세요: xn→x0x_n \to x_0인 모든 수열에 대해 f(xn)→f(x0)f(x_n) \to f(x_0).

∀ε>0 ∃δ>0: ∣x−x0∣<δ⇒∣f(x)−f(x0)∣<ε\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0:\ \lvert x-x_0\rvert<\delta \Rightarrow \lvert f(x)-f(x_0)\rvert<\varepsilon
xn→x0 ⟹ f(xn)→f(x0)x_n \to x_0 \ \Longrightarrow\ f(x_n) \to f(x_0)
f(x)=x2f(x) = x^2, ε=0.3\varepsilon = 0.3: δmax⁡≈0.54\delta_{\max} \approx 0.54 (=0.3=\sqrt{0.3})가 모든 xx를 띠 안에 가둡니다 — 이 δ\delta가 아래 증명의 핵심입니다.
증명 보기
  1. ff가 x0x_0에서 ε\varepsilon-δ\delta 연속이라 가정합니다: 임의의 ε>0\varepsilon > 0에 대해, ∣x−x0∣<δ|x - x_0| < \delta이면 ∣f(x)−f(x0)∣<ε|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon인 δ>0\delta > 0이 존재합니다.
  2. xn→x0x_n \to x_0인 수열과 ε>0\varepsilon > 0을 잡습니다. 이 ε\varepsilon에 대한 δ\delta를 위에서 가져오면, xn→x0x_n \to x_0이므로 n>N⇒∣xn−x0∣<δn > N \Rightarrow |x_n - x_0| < \delta인 NN이 존재합니다.
  3. n>Nn > N인 모든 nn에 대해 ∣f(xn)−f(x0)∣<ε|f(x_n) - f(x_0)| < \varepsilon이므로, f(xn)→f(x0)f(x_n) \to f(x_0)입니다. ε>0\varepsilon > 0이 임의였으므로 수열 연속이 성립합니다.

대우로 증명하세요: ff가 x0x_0에서 ε\varepsilon-δ\delta 연속이 아니면, xn→x0x_n \to x_0이지만 f(xn)↛f(x0)f(x_n) \not\to f(x_0)인 수열 (xn)(x_n)을 만들 수 있습니다.

∃ε0>0 ∀δ>0 ∃x: ∣x−x0∣<δ and ∣f(x)−f(x0)∣≥ε0\exists\varepsilon_0>0\ \forall\delta>0\ \exists x:\ \lvert x-x_0\rvert<\delta \text{ and } \lvert f(x)-f(x_0)\rvert \ge \varepsilon_0
∣xn−x0∣<1n,∣f(xn)−f(x0)∣≥ε0\lvert x_n - x_0\rvert < \tfrac{1}{n}, \qquad \lvert f(x_n) - f(x_0)\rvert \ge \varepsilon_0
점프 함수, ε=0.3\varepsilon = 0.3: xn=(−1)n/n→0x_n = (-1)^n/n \to 0이지만 f(xn)f(x_n)은 00과 11 근처를 오가며 f(0)=1f(0) = 1로 모이지 않습니다 — 아래 증명이 이 수열을 일반 형태로 만듭니다.
증명 보기
  1. ff가 x0x_0에서 ε\varepsilon-δ\delta 연속이 아니라고 가정합니다. 정의의 부정: 어떤 ε0>0\varepsilon_0 > 0이 존재하여, 모든 δ>0\delta > 0에 대해 ∣x−x0∣<δ|x - x_0| < \delta이면서 ∣f(x)−f(x0)∣≥ε0|f(x) - f(x_0)| \ge \varepsilon_0인 xx가 존재합니다.
  2. 각 자연수 nn에 대해 δ=1/n\delta = 1/n을 대입해 xnx_n을 선택합니다: ∣xn−x0∣<1/n|x_n - x_0| < 1/n이고 ∣f(xn)−f(x0)∣≥ε0|f(x_n) - f(x_0)| \ge \varepsilon_0.
  3. 조임 정리로 ∣xn−x0∣<1/n→0|x_n - x_0| < 1/n \to 0이므로 xn→x0x_n \to x_0입니다. 그러나 모든 nn에 대해 ∣f(xn)−f(x0)∣≥ε0|f(x_n) - f(x_0)| \ge \varepsilon_0이므로 f(xn)↛f(x0)f(x_n) \not\to f(x_0)입니다 — f(xn)→f(x0)f(x_n) \to f(x_0)라면 ∣f(xn)−f(x0)∣<ε0/2|f(x_n) - f(x_0)| < \varepsilon_0/2인 nn이 있어야 하는데 모순입니다. 따라서 수열 연속이 깨집니다.

ff가 정의역 전체에서 연속일 때, 그리고 그때만, 모든 열린 집합의 역상 f−1(V)f^{-1}(V)가 열려 있음을 양방향 모두 완전히 증명하세요.

f continuous  ⟺  f−1(V) open for every open Vf \text{ continuous} \iff f^{-1}(V) \text{ open for every open } V
V=(f(x0)−ε, f(x0)+ε),U=f−1(V)∋x0 openV = (f(x_0)-\varepsilon,\ f(x_0)+\varepsilon), \qquad U = f^{-1}(V) \ni x_0 \text{ open}
점프 함수, ε=0.3\varepsilon = 0.3: V=(0.7,1.3)V = (0.7, 1.3)의 역상은 00 주변 구간을 포함하지 않습니다 (왼쪽에서는 ∣x∣≈0.84|x| \approx 0.84 바깥만 해당) — 열린 집합의 역상이 열리지 않은 것입니다.
증명 보기
  1. (⇒\Rightarrow) ff가 연속이고 VV가 열려 있다고 둡니다. x0∈f−1(V)x_0 \in f^{-1}(V)라 하면 f(x0)∈Vf(x_0) \in V이고, VV가 열려 있으므로 (f(x0)−ε,f(x0)+ε)⊂V(f(x_0)-\varepsilon, f(x_0)+\varepsilon) \subset V인 ε>0\varepsilon > 0이 존재합니다.
  2. x0x_0에서의 연속성에 의해 ∣x−x0∣<δ⇒∣f(x)−f(x0)∣<ε|x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon인 δ>0\delta > 0이 존재합니다. 그러면 (x0−δ,x0+δ)(x_0-\delta, x_0+\delta)의 모든 xx는 f(x)∈(f(x0)−ε,f(x0)+ε)⊂Vf(x) \in (f(x_0)-\varepsilon, f(x_0)+\varepsilon) \subset V를 만족하므로 x∈f−1(V)x \in f^{-1}(V)입니다. 즉 x0x_0은 f−1(V)f^{-1}(V)의 내점이고, x0x_0이 임의였으므로 f−1(V)f^{-1}(V)는 열려 있습니다.
  3. (⇐\Leftarrow) 모든 열린 집합의 역상이 열려 있다고 둡니다. x0x_0와 ε>0\varepsilon > 0에 대해 V=(f(x0)−ε,f(x0)+ε)V = (f(x_0)-\varepsilon, f(x_0)+\varepsilon)은 열린 집합이므로 U=f−1(V)U = f^{-1}(V)는 열려 있고 x0∈Ux_0 \in U입니다. 따라서 (x0−δ,x0+δ)⊂U(x_0-\delta, x_0+\delta) \subset U인 δ>0\delta > 0이 존재하고, ∣x−x0∣<δ|x - x_0| < \delta이면 f(x)∈Vf(x) \in V, 즉 ∣f(x)−f(x0)∣<ε|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon입니다. x0x_0가 임의였으므로 ff는 연속입니다.

3. 연속함수