뮌츠-서스 정리

x\sqrt{x}를 최소제곱으로 근사하며 확인합니다 — 지수 λn=n\lambda_n = n인 조밀 기저 {1,x,…,xN}\{1, x, \ldots, x^N\}의 오차는 0.1003→0.0708→0.05440.1003 \to 0.0708 \to 0.0544로 줄지만, ∑1n2=π26<∞\sum \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} < \infty인 희소 기저 {1,x,x4,…,xN2}\{1, x, x^4, \ldots, x^{N^2}\}의 오차는 0.160.16 부근에 묶입니다.

span⁡{1,xλ1,xλ2,…} dense in C[0,1]  ⟺  ∑n1λn=∞\operatorname{span}\{1, x^{\lambda_1}, x^{\lambda_2}, \ldots\} \text{ dense in } C[0,1] \iff \sum_{n} \frac{1}{\lambda_n} = \infty
N=4,6,8:∥pdense−⋅ ∥∞=0.1003→0.0708→0.0544N = 4, 6, 8: \|p_{\mathrm{dense}} - \sqrt{\cdot}\,\|_\infty = 0.1003 \to 0.0708 \to 0.0544

예제

∑n≥11n2=π26<∞\sum_{n \ge 1} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} < \infty임을 증명하고, Müntz–Szász 정리의 필요조건 방향을 인용하여 span⁡{1,x,x4,x9,…}\operatorname{span}\{1, x, x^4, x^9, \ldots\}가 C[0,1]C[0,1]에서 조밀하지 않음을 결론지으세요. 필요조건 방향의 증명 자체는 아이디어 수준의 스케치로 표시되어 있습니다.

1π∫−ππx2 dx=∑k=1∞bk22,bk=2(−1)k+1k\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x^2\,dx = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{b_k^2}{2}, \qquad b_k = \frac{2(-1)^{k+1}}{k}
∑n=1∞1n2=π26<∞  ⇒  span⁡{1,xn2} not dense\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} < \infty \;\Rightarrow\; \operatorname{span}\{1, x^{n^2}\} \text{ not dense}
N=6N = 6: 희소 기저 오차 ≈0.1676\approx 0.1676이 ≈0.16\approx 0.16 부근에 묶여 있습니다 — 아래 증명이 이 정체를 예고하는 이유입니다.
증명 보기
  1. 먼저 ∑1/n2=π2/6\sum 1/n^2 = \pi^2/6을 계산합니다 (완전한 증명). f(x)=xf(x) = x를 (−π,π)(-\pi, \pi) 위의 홀함수로 보고 사인 급수를 구하면, 부분적분으로 bk=1π∫−ππxsin⁡(kx) dx=2(−1)k+1kb_k = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x \sin(kx)\,dx = \frac{2(-1)^{k+1}}{k}입니다. Parseval 항등식에 따르면 1π∫−ππx2 dx=∑k=1∞bk22\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x^2\,dx = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{b_k^2}{2}인데, 좌변은 2π23\frac{2\pi^2}{3}이므로 2π23=2∑k=1∞1k2\frac{2\pi^2}{3} = 2\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}, 즉 ∑k=1∞1k2=π26≈1.6449<∞\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6} \approx 1.6449 < \infty입니다.
  2. 이제 Müntz–Szász 정리의 필요조건 방향을 인용합니다: ∑1λn<∞\sum \frac{1}{\lambda_n} < \infty이면 span⁡{1,xλ1,xλ2,…}\operatorname{span}\{1, x^{\lambda_1}, x^{\lambda_2}, \ldots\}는 C[0,1]C[0,1]에서 조밀하지 않습니다. [스케치 표시: 이 방향의 완전한 증명은 복소해석학을 필요로 합니다 — ∑1/λn\sum 1/\lambda_n의 수렴이 Blaschke 곱 형태의 무한곱을 수렴시켜, 모든 xλnx^{\lambda_n}과 (가중 L2L^2 내적에서) 직교하는 0이 아닌 해석함수를 만들고, Hahn–Banach 정리가 그 span에서 고정된 양의 거리만큼 떨어진 연속함수를 분리해냅니다. 여기서는 결론만 씁니다.] λn=n2\lambda_n = n^2인 경우 ∑1λn=π26<∞\sum \frac{1}{\lambda_n} = \frac{\pi^2}{6} < \infty이므로, span⁡{1,x,x4,x9,…}\operatorname{span}\{1, x, x^4, x^9, \ldots\}는 C[0,1]C[0,1]에서 조밀하지 않습니다 — 씬에서 희소 기저의 오차가 ≈0.16\approx 0.16에 묶이는 이유입니다.

[−1,1][-1, 1] 위의 짝다항식들의 균등 극한은 짝함수임을 증명하고 (완전한 증명), 이로부터 span⁡{1,x2,x4,…}\operatorname{span}\{1, x^2, x^4, \ldots\}가 C[−1,1]C[-1, 1]에서 조밀하지 않음을 결론지으세요 — Müntz–Szász의 필요조건을 쓰지 않고 직접 보이는 워밍업입니다.

f(x)=lim⁡n→∞pn(x)=lim⁡n→∞pn(−x)=f(−x)f(x) = \lim_{n \to \infty} p_n(x) = \lim_{n \to \infty} p_n(-x) = f(-x)
g(x)=x∈C[−1,1] is not even  ⇒  span⁡{x2k} not denseg(x) = x \in C[-1,1] \text{ is not even} \;\Rightarrow\; \operatorname{span}\{x^{2k}\} \text{ not dense}
N=6N = 6: 조밀 기저는 x\sqrt{x}에 오차 ≈0.0708\approx 0.0708까지 다가갑니다 — 다항식 전체가 있으면 (짝수 차수만 있는 경우와 달리) 어떤 연속함수도 잡을 수 있습니다.
증명 보기
  1. pnp_n이 짝다항식이고 pn→fp_n \to f가 [−1,1][-1, 1]에서 균등수렴한다고 하자. 균등수렴은 점별 수렴을 함의하므로 각 x∈[−1,1]x \in [-1, 1]에 대해 f(x)=lim⁡n→∞pn(x)f(x) = \lim_{n \to \infty} p_n(x)이다. 각 pnp_n이 짝함수이므로 pn(x)=pn(−x)p_n(x) = p_n(-x)이고, 따라서 f(x)=lim⁡n→∞pn(x)=lim⁡n→∞pn(−x)=f(−x)f(x) = \lim_{n \to \infty} p_n(x) = \lim_{n \to \infty} p_n(-x) = f(-x)이다. 즉 ff는 짝함수이다 — 짝다항식들의 균등 극한은 항상 짝이다. (증명 끝)
  2. g(x)=xg(x) = x는 [−1,1][-1, 1] 위의 연속함수이지만 짝함수가 아니다. 만약 span⁡{1,x2,x4,…}\operatorname{span}\{1, x^2, x^4, \ldots\}가 C[−1,1]C[-1, 1]에서 조밀했다면, gg에 균등수렴하는 짝다항식 열이 존재하고, 방금 증명한 바에 의해 그 극한 gg는 짝함수여야 한다 — 모순이다. 따라서 span⁡{1,x2,x4,…}\operatorname{span}\{1, x^2, x^4, \ldots\}는 C[−1,1]C[-1, 1]에서 조밀하지 않다. (참고: 이는 C[−1,1]C[-1,1]에서의 이야기이며, 씬의 C[0,1]C[0,1] 위의 희소 기저 {1,x,x4,…}\{1, x, x^4, \ldots\}와는 구별된다 — 후자의 비조밀성은 첫 번째 문제의 Müntz–Szász 필요조건이 맡는다.)

λn=n\lambda_n = n인 경우 ∑1n=∞\sum \frac{1}{n} = \infty임을 보이고, span⁡{1,x,x2,…}\operatorname{span}\{1, x, x^2, \ldots\}가 C[0,1]C[0,1]에서 조밀함을 (Müntz–Szász의 충분조건을 인용하지 않고) 바이어슈트라스 근사정리로 직접 증명하세요. 구체적으로 N≥2N \ge 2이면 x2∈span⁡{1,x,…,xN}x^2 \in \operatorname{span}\{1, x, \ldots, x^N\}임을 확인하고, 씬의 조밀 기저가 x\sqrt{x}에 다가가는 숫자를 읽으세요.

Hn=∑k=1n1k>∫1n+1dxx=ln⁡(n+1)→∞H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} > \int_1^{n+1} \frac{dx}{x} = \ln(n+1) \to \infty
span⁡{1,x,x2,…}=all polynomials\operatorname{span}\{1, x, x^2, \ldots\} = \text{all polynomials}
all polynomials→Weierstrassdense in C[0,1]\text{all polynomials} \xrightarrow{\text{Weierstrass}} \text{dense in } C[0,1]
N=8N = 8: 조밀 기저 오차 ≈0.0544\approx 0.0544 — N=4N = 4의 0.10030.1003, N=6N = 6의 0.07080.0708에서 계속 줄어듭니다. ∑1n=∞\sum \frac{1}{n} = \infty인 기저는 멈추지 않습니다.
증명 보기
  1. 조화급수는 발산한다: Hn=∑k=1n1kH_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}에 대해 각 항 1k≥∫kk+1dxx\frac{1}{k} \ge \int_{k}^{k+1} \frac{dx}{x}이므로 Hn≥∫1n+1dxx=ln⁡(n+1)→∞H_n \ge \int_{1}^{n+1} \frac{dx}{x} = \ln(n+1) \to \infty이다. 따라서 λn=n\lambda_n = n인 경우 ∑1λn=∞\sum \frac{1}{\lambda_n} = \infty이다. (수치 목격자: H1000≈7.4855>ln⁡(1001)≈6.9088H_{1000} \approx 7.4855 > \ln(1001) \approx 6.9088.)
  2. λn=n\lambda_n = n일 때 span⁡{1,x,x2,…}\operatorname{span}\{1, x, x^2, \ldots\}는 정확히 모든 (실수 계수) 다항식의 집합이다 — xkx^k 자체가 kk번째 기저 원소이므로, 차수 dd 이하의 모든 다항식은 처음 d+1d+1개의 기저 원소의 선형결합이다. 바이어슈트라스 근사정리에 의해 다항식은 C[0,1]C[0,1]에서 균등하게 조밀하므로, 이 span도 조밀하다. Müntz–Szász의 충분조건 방향을 인용할 필요가 전혀 없다 — 이 경우는 바이어슈트라스가 직접 처리한다.
  3. 구체적인 확인: N≥2N \ge 2이면 x2x^2는 기저 원소 그 자체이므로 span⁡{1,x,…,xN}\operatorname{span}\{1, x, \ldots, x^N\}에 자명하게 속한다 — 근사가 아니라 정확한 소속이다. 씬은 이 조밀함이 x\sqrt{x} 같은 특이점을 가진 함수에도 실제로 작동함을 보여준다: 조밀 기저의 최소제곱합 오차는 N=4,6,8N = 4, 6, 8에서 0.1003→0.0708→0.05440.1003 \to 0.0708 \to 0.0544로 줄어든다. (증명 끝)

5. 근사