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연습문제

이 장의 내용을 확인하는 연습문제이다. 풀이는 접어서 두었으니 먼저 스스로 풀어 보자.

어려움

1어려움

ff가 [0,1][0, 1]에서 연속이고 모든 정수 n≥0n \ge 0에 대해 ∫01xnf(x) dx=0\int_0^1 x^n f(x)\,dx = 0이라 하자. 바이어슈트라스 근사정리를 이용해 f≡0f \equiv 0임을 증명하라.

∫01xnf(x) dx=0∀n≥0⟹f≡0\int_0^1 x^n f(x)\,dx = 0 \quad \forall n \ge 0 \quad \Longrightarrow \quad f \equiv 0
∫01f(x)2 dx=lim⁡k→∞∫01pk(x)f(x) dx=0\int_0^1 f(x)^2\,dx = \lim_{k \to \infty} \int_0^1 p_k(x) f(x)\,dx = 0
풀이 보기
  1. 먼저 가정을 다항식 전체로 확장한다. p(x)=∑j=0mcjxjp(x) = \sum_{j=0}^m c_j x^j이면 적분의 선형성에 의해 ∫01p(x)f(x) dx=∑j=0mcj∫01xjf(x) dx=0\int_0^1 p(x) f(x)\,dx = \sum_{j=0}^m c_j \int_0^1 x^j f(x)\,dx = 0이다. 즉 모든 다항식 pp에 대해 ∫01pf=0\int_0^1 pf = 0이다.
  2. 바이어슈트라스 근사정리에 의해 다항식 수열 (pk)(p_k)가 ff에 [0,1][0, 1]에서 균등수렴한다: ∥pk−f∥∞→0\|p_k - f\|_\infty \to 0. M=max⁡[0,1]∣f∣M = \max_{[0,1]} |f| (콤팩트 구간 위의 연속함수는 최댓값을 갖는다)이라 두면
    ∣∫01pkf−∫01f2∣=∣∫01(pk−f)f∣≤∥pk−f∥∞⋅M⟶0.\left|\int_0^1 p_k f - \int_0^1 f^2\right| = \left|\int_0^1 (p_k - f) f\right| \le \|p_k - f\|_\infty \cdot M \longrightarrow 0.
  3. 그런데 각 ∫01pkf=0\int_0^1 p_k f = 0이므로 극한을 취하면 ∫01f(x)2 dx=0\int_0^1 f(x)^2\,dx = 0을 얻는다. f2f^2는 연속이고 00 이상이므로 f2≡0f^2 \equiv 0이다: f(c)2=η>0f(c)^2 = \eta > 0인 점 cc가 있다면 연속성에 의해 어떤 구간에서 f2≥η/2f^2 \ge \eta/2가 되어 적분이 양수가 되기 때문이다. 따라서 f≡0f \equiv 0이다.