바이어슈트라스 함수

모든 점에서 연속이지만 어느 점에서도 미분 불가능한 함수입니다. 부분합을 늘릴수록 그래프가 가시처럼 뾰족해집니다.

확대하면 매끄러워지는 보통 곡선과 다릅니다. 아무리 확대해도 새로운 톱니가 나타납니다. 그래서 어느 점에서도 접선이 정해지지 않습니다. 연속성의 증명은 균등수렴이 맡습니다.

예를 들면, 🌳 나무 가지를 확대하면 작은 가지가 보이고, 또 확대하면 더 작은 가지가 끝없이 나오는 것과 같아요. 어느 배율로 봐도 뾰족함이 사라지지 않아요.

W(x)=∑n=0∞ancos⁡(bnπx),0<a<1<b, ab>1+3π2W(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n\cos(b^n\pi x),\quad 0 < a < 1 < b,\ ab > 1 + \frac{3\pi}{2}
∣ancos⁡(bnπx)∣≤an,∑an<∞ ⇒ W continuous|a^n\cos(b^n\pi x)| \le a^n,\quad \sum a^n < \infty\ \Rightarrow\ W \text{ continuous}

이 씬이 포함된 학습 경로

예제

바이어슈트라스 함수 W(x)=∑n=0∞ancos⁡(bnπx)W(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n \cos(b^n \pi x) (a=12a = \frac12, b=13b = 13)가 R\mathbb{R} 전체에서 연속임을 바이어슈트라스 M-판정법으로 증명하세요. (힌트: 급수 장의 m-test 장면.)

un(x)=ancos⁡(bnπx),∣un(x)∣≤(12)n=:Mnu_n(x) = a^n \cos(b^n \pi x), \qquad |u_n(x)| \le \left(\tfrac12\right)^n =: M_n
∑n=0∞Mn=2<∞  →M-test  ∑un converges uniformly on R\sum_{n=0}^{\infty} M_n = 2 < \infty \;\xrightarrow{\text{M-test}}\; \sum u_n \text{ converges uniformly on } \mathbb{R}
∣W(x)−WN(x)∣≤∑n=N+1∞Mn=(12)Nfor every x|W(x) - W_N(x)| \le \sum_{n=N+1}^{\infty} M_n = \left(\tfrac12\right)^N \quad \text{for every } x
n=6n = 6: 꼬리 상한 (1/2)6=0.015625(1/2)^6 = 0.015625 — 이 곡선은 진짜 WW와 모든 xx에서 0.016 이내에 있다 (W6(0)=1.984375W_6(0) = 1.984375).
증명 보기

  1. 각 항 un(x)=ancos⁡(bnπx)u_n(x) = a^n \cos(b^n \pi x)는 연속함수이다.

    모든 xx에 대해 ∣cos⁡∣≤1|\cos| \le 1이므로 ∣un(x)∣≤an=(12)n=:Mn|u_n(x)| \le a^n = \left(\frac12\right)^n =: M_n이고, ∑n=0∞Mn=∑n=0∞(12)n=2<∞\sum_{n=0}^{\infty} M_n = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac12\right)^n = 2 < \infty이다.

    바이어슈트라스 M-판정법(급수 장의 m-test 장면)에 의해 ∑un\sum u_n은 R\mathbb{R}에서 균등 수렴한다.

  2. 연속함수들의 균등 극한은 연속이다: x0x_0을 고정하면 ∣W(x)−W(x0)∣≤∣W(x)−WN(x)∣+∣WN(x)−WN(x0)∣+∣WN(x0)−W(x0)∣|W(x) - W(x_0)| \le |W(x) - W_N(x)| + |W_N(x) - W_N(x_0)| + |W_N(x_0) - W(x_0)|이고, 처음과 마지막 항은 꼬리 상한 (1/2)N(1/2)^N으로, 가운데 항은 연속인 유한합 WNW_N으로 작게 만들 수 있다. 따라서 WW는 x0x_0에서 연속이고, x0x_0은 임의였으므로 WW는 R\mathbb{R} 전체에서 연속이다.

  3. 숫자로 확인하자: N=6N = 6일 때 ∣W(x)−W6(x)∣≤(1/2)6=0.015625|W(x) - W_6(x)| \le (1/2)^6 = 0.015625가 모든 xx에 대해 성립한다 — 화면의 곡선은 진짜 WW에서 0.016 이내에 있다. NN을 키우면 꼬리 상한 (1/2)N(1/2)^N은 0으로 가므로, 화면의 WNW_N은 WW에 균등하게 다가간다.

정리를 서술하세요: bb가 홀수이고 ab>1+3π2ab > 1 + \frac{3\pi}{2}이면 바이어슈트라스 함수 WW는 어떤 점에서도 미분가능하지 않습니다 (우리의 a=12a = \frac12, b=13b = 13은 ab=6.5>5.712ab = 6.5 > 5.712을 만족합니다).

아래 증명은 아이디어 수준의 개요(sketch)입니다 — 메커니즘은 정확히 전달하되, 고전적 증명의 상수 추적을 한 줄 한 줄 재현하지는 않습니다.

ab=6.5>1+3π2≈5.712,b=13 oddab = 6.5 > 1 + \frac{3\pi}{2} \approx 5.712, \qquad b = 13 \text{ odd}
at scale b−n: the n-th harmonic completes a full spike, so some xn→x0 has\text{at scale } b^{-n}\text{: the } n\text{-th harmonic completes a full spike, so some } x_n \to x_0 \text{ has}
∣W(xn)−W(x0)xn−x0∣≳(ab)n→∞(idea sketch, not the full proof)\left|\frac{W(x_n) - W(x_0)}{x_n - x_0}\right| \gtrsim (ab)^n \to \infty \quad \text{(idea sketch, not the full proof)}
n=8n = 8: 꼬리 상한 (1/2)8=0.00390625(1/2)^8 = 0.00390625 — 매끄러운 항을 8개나 더했는데도 곡선은 모든 스케일에서 들쭉날쭉하다 (W8(0)=1.99609375W_8(0) = 1.99609375, W8(1)=−1.99609375W_8(1) = -1.99609375).
힌트 보기

  1. 정리 (Weierstrass–Hardy): bb가 홀수인 정수이고 ab>1+3π2ab > 1 + \frac{3\pi}{2}이면 W(x)=∑n=0∞ancos⁡(bnπx)W(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n \cos(b^n \pi x)는 어떤 점에서도 미분가능하지 않다. 우리는 a=12a = \frac12, b=13b = 13을 쓰므로 ab=6.5>1+3π2≈5.712ab = 6.5 > 1 + \frac{3\pi}{2} \approx 5.712이다 — 조건을 만족한다.

  2. 메커니즘 — 스케일 b−nb^{-n}에서 들여다보기: nn번째 조화항 cos⁡(bnπx)\cos(b^n \pi x)는 길이가 b−nb^{-n} 정도인 구간마다 한 주기를 완성하므로, 임의의 점 x0x_0 근처에는 ∣xn−x0∣≲b−n|x_n - x_0| \lesssim b^{-n}이면서 nn번째 코사인이 거의 골에서 봉우리까지 (≈2\approx 2만큼) 움직이는 스파이크 점 xnx_n이 있다. 이 스파이크를 가로지르는 nn번째 항의 차분몫은 an⋅(≈2)/(≈b−n)≈2(ab)n=2⋅6.5n→∞a^n \cdot (\approx 2) / (\approx b^{-n}) \approx 2(ab)^n = 2 \cdot 6.5^n \to \infty이다 (n=8n = 8에서 ≈6.37×106\approx 6.37 \times 10^6).

  3. 나머지 항들은 이 스파이크를 이기지 못한다: k<nk < n인 항들은 이 스케일에서 거의 평평하므로(미분하면 akbkπa^k b^k \pi가 나오고, 공비가 abab인 기하급수라 스파이크보다 작은 상수를 갖는다), k>nk > n인 항들은 꼬리 상한 2an+1/(1−a)2a^{n+1}/(1-a)로 균등하게 작다. 고전적 증명은 스파이크 점을 정교하게 선택해 세 부분의 상수를 모두 추적하고, ab>1+3π2ab > 1 + \frac{3\pi}{2}라는 조건이 정확히 "스파이크의 상수가 이긴다"는 부등식임을 보인다.

  4. 정직한 표시: 이것은 아이디어 수준의 개요이다.

    완전한 증명은 스파이크 점을 구성하고 세 부분의 상수를 끝까지 추적하는 고전적 Weierstrass–Hardy 구성으로, 여기서는 한 줄 한 줄 재현하지 않는다.

    전달하려는 핵심은 이것이다 — 차분몫이 스파이크 수열 xn→x0x_n \to x_0을 따라 무한대로 발산하므로, 어떤 유한한 수도 W′(x0)W'(x_0)이 될 수 없고, x0x_0은 임의였으므로 WW는 어디에서도 미분가능하지 않다.

각 부분합 WNW_N은 유한개의 코사인 합이므로 R\mathbb{R}에서 매끄럽게(무한히) 미분가능합니다.

그런데 WN→WW_N \to W는 균등 수렴이고(문제 1), WW는 어디에서도 미분가능하지 않습니다(문제 2).

따라서 미분가능한 함수들의 균등 극한은 미분가능하지 않을 수 있음을 결론지으세요.

WN(x)=∑n=0Nancos⁡(bnπx)smooth on RW_N(x) = \sum_{n=0}^{N} a^n \cos(b^n \pi x) \quad \text{smooth on } \mathbb{R}
WN→uniformlyW,∣W−WN∣≤(12)N→0W_N \xrightarrow{\text{uniformly}} W, \qquad |W - W_N| \le \left(\tfrac12\right)^N \to 0
W differentiable nowhere (problem 2)W \text{ differentiable nowhere (problem 2)}
n=2n = 2: 매끄러운 항 3개의 합 (W2(0)=1.75W_2(0) = 1.75, 꼬리 상한 (1/2)2=0.25(1/2)^2 = 0.25) — 이렇게 매끄러운 것들의 균등 극한이 미분가능하지 않을 수 있다.
증명 보기

  1. 각 WNW_N은 유한합이므로 항별 미분이 정당하다: WN′(x)=−∑n=0Nanbnπsin⁡(bnπx)W_N'(x) = -\sum_{n=0}^{N} a^n b^n \pi \sin(b^n \pi x)가 모든 xx에서 존재한다.

    예를 들어 W2′(x)=−πsin⁡(πx)−13π2sin⁡(13πx)−169π4sin⁡(169πx)W_2'(x) = -\pi\sin(\pi x) - \frac{13\pi}{2}\sin(13\pi x) - \frac{169\pi}{4}\sin(169\pi x)이다 (a1b1π=13π2a^1 b^1 \pi = \frac{13\pi}{2}, a2b2π=169π4a^2 b^2 \pi = \frac{169\pi}{4}).

    화면의 모든 곡선은 매끄러운 함수이다.

  2. 그런데 문제 1의 꼬리 상한 ∣W−WN∣≤(1/2)N→0|W - W_N| \le (1/2)^N \to 0에 의해 WN→WW_N \to W는 R\mathbb{R}에서 균등 수렴이다. 그리고 문제 2에 의해 극한 WW는 어떤 점에서도 미분가능하지 않다.

  3. 따라서 미분가능한 함수들의 균등 극한은 미분가능하지 않을 수 있다 — 연속성은 균등 극한에서 보존되지만(문제 1의 논증), 미분가능성은 그렇지 않다. 이것이 해석학이 항별 미분에 더 강한 수렴(예: 도함수들의 균등 수렴)을 요구하는 이유이다.

10. 미분