평균값 정리

곡선 위에는 할선과 평행한 접선이 반드시 있습니다. 그 접점을 직접 찾아보는 씬입니다.

양 끝을 잇는 직선의 기울기가 평균 기울기입니다. 어느 중간 지점에서는 순간 기울기가 그 평균과 같아집니다. 평균값 정리가 보장하는 사실입니다.

예를 들면, 🚗 자동차로 100km를 한 시간에 달렸다면 평균 속도는 시속 100km예요. 그 한 시간 중 어느 한 순간, 속도계는 정확히 100을 가리켰을 거예요.

f′(ξ)=f(b)−f(a)b−af'(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}

이 씬이 포함된 학습 경로

예제

f(x)=x2f(x) = x^2를 [0,2][0, 2]에서 평균값 정리에 적용하여 ξ\xi를 직접 구하세요.

f(2)−f(0)2−0=2,f′(ξ)=2ξ=2  ⇒  ξ=1\frac{f(2)-f(0)}{2-0} = 2, \quad f'(\xi) = 2\xi = 2 \;\Rightarrow\; \xi = 1
f(x)=x2f(x) = x^2, ξ=1\xi = 1 — 접선의 기울기가 2로 할선과 일치합니다.
증명 보기

  1. 할선의 기울기는 f(2)−f(0)2−0=4−02=2\frac{f(2) - f(0)}{2 - 0} = \frac{4 - 0}{2} = 2입니다.

  2. f′(x)=2xf'(x) = 2x이므로 f′(ξ)=2f'(\xi) = 2는 2ξ=22\xi = 2, 즉 ξ=1\xi = 1을 줍니다. 1∈(0,2)1 \in (0, 2)이므로 평균값 정리의 결론과 일치합니다.

f(a)=f(b)f(a) = f(b)이면 평균값 정리는 롤의 정리가 됩니다.

f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x, [−1,2][-1, 2]에서 확인하세요.

f(−1)=f(2)=2  ⇒  ∃ ξ∈(−1,2):f′(ξ)=0f(-1) = f(2) = 2 \;\Rightarrow\; \exists\,\xi \in (-1,2): f'(\xi) = 0
ξ≈1\xi \approx 1에서 접선이 수평 — 할선(기울기 0)과 평행합니다.
증명 보기

  1. ff는 다항함수이므로 모든 점에서 연속이고 미분가능합니다; 특히 [−1,2][-1, 2]에서 연속이고 (−1,2)(-1, 2)에서 미분가능하므로 롤의 정리와 평균값 정리의 가정이 충족됩니다. f(−1)=−1+3=2f(-1) = -1 + 3 = 2, f(2)=8−6=2f(2) = 8 - 6 = 2이므로 할선의 기울기는 2−23=0\frac{2-2}{3} = 0입니다.

  2. f′(x)=3x2−3=0f'(x) = 3x^2 - 3 = 0은 x=±1x = \pm 1을 주고, 열린 구간 (−1,2)(-1, 2) 안에는 ξ=1\xi = 1이 있습니다. 이것이 롤의 정리입니다 — 평균값 정리의 기울기가 0인 특수 경우입니다.

f′≡0f' \equiv 0이면 ff는 상수함수임을 평균값 정리로 증명하세요.

f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)=0f(b) - f(a) = f'(\xi)(b-a) = 0
상수함수: 할선도 접선도 기울기가 0입니다.
증명 보기

  1. 가정은 모든 점에서 f′=0f' = 0이라는 것입니다: ff가 정의역의 모든 구간에서 연속이고 내부에서 미분가능하며 도함수가 항등적으로 00이라 가정합니다.

  2. 임의의 두 점 u<vu < v를 잡습니다. 가정이 [u,v][u, v]에도 그대로 상속되므로, 평균값 정리에 의해 어떤 ξ∈(u,v)\xi \in (u, v)에 대해 f(v)−f(u)=f′(ξ)(v−u)=0⋅(v−u)=0f(v) - f(u) = f'(\xi)(v-u) = 0\cdot(v-u) = 0입니다.

  3. 따라서 모든 u<vu < v에 대해 f(v)=f(u)f(v) = f(u)이므로 ff는 상수함수입니다.

10. 미분