미분가능 ⇒ 연속

미분가능하면 연속이지만, 그 반대는 참이 아닙니다. 뾰족한 모서리를 확대해 그 이유를 봅니다.

연속은 그래프가 끊기지 않는다는 뜻입니다. 미분가능은 한 걸음 더 나아갑니다. 접선의 기울기가 하나의 값으로 정해져야 합니다. 꺾인 모서리에서는 기울기가 둘로 갈립니다.

예를 들면, 🚗 자동차가 완만한 언덕을 오르면 어느 순간에도 속도를 잴 수 있어요. 그런데 길이 톱니처럼 뾰족하게 꺾이면, 꺾인 점에서는 속도가 하나로 정해지지 않아요.

f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hf'(a) = \lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
lim⁡h→0f(a+h)=f(a)\lim_{h \to 0} f(a+h) = f(a)

이 씬이 포함된 학습 경로

예제

ff가 aa에서 미분가능하면 aa에서 연속임을 세 줄로 증명하세요.

f(a+h)−f(a)=f(a+h)−f(a)h⋅h→f′(a)⋅0=0f(a+h) - f(a) = \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \cdot h \to f'(a) \cdot 0 = 0
∣x∣|x| 전체 모습 — 증명의 핵심은 차분 몫에 hh를 곱하는 트릭입니다.
증명 보기

  1. h≠0h \neq 0일 때 f(a+h)−f(a)=f(a+h)−f(a)h⋅hf(a+h) - f(a) = \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \cdot h입니다 — 0이 아닌 수로 나누고 다시 곱하는 것은 아무것도 바꾸지 않습니다.

  2. h→0h \to 0으로 보내면 꺾쇠 안의 차분 몫은 f′(a)f'(a)로, 뒤의 hh는 00으로 수렴하므로, 곱은 f′(a)⋅0=0f'(a) \cdot 0 = 0으로 수렴합니다.

  3. 따라서 lim⁡h→0f(a+h)=f(a)\lim_{h \to 0} f(a+h) = f(a)입니다 — 이것이 aa에서의 연속성의 정의이므로, ff는 aa에서 연속입니다.

f(x)=∣x∣f(x) = \lvert x\rvert가 x=0x = 0에서 미분가능하지 않음을 증명하세요.

∣h∣h={1h>0−1h<0\frac{|h|}{h} = \begin{cases} 1 & h > 0 \\ -1 & h < 0 \end{cases}
4단계 확대 — 왼쪽 기울기 −1-1, 오른쪽 +1+1이 그대로입니다.
증명 보기

  1. 차분 몫은 f(0+h)−f(0)h=∣h∣h\frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \frac{|h|}{h}이고, h>0h > 0일 때 11, h<0h < 0일 때 −1-1입니다.

  2. 따라서 우극한은 11, 좌극한은 −1-1로 서로 다르므로, 양쪽 극한 — 즉 도함수 — 은 존재하지 않습니다.

  3. 확대해도 모서리가 펴지지 않는 것이 바로 이 때문입니다: 어느 배율에서든 왼쪽 기울기 −1-1, 오른쪽 기울기 +1+1이 그대로 유지됩니다.

모든 점에서 연속이지만 어떤 점에서도 미분가능하지 않은 함수가 존재함을 (정리로) 서술하세요.

증명은 생략하고 아이디어 수준으로 둡니다.

8단계 확대 — ∣x∣|x|의 모서리 하나가 아니라, 이런 모서리가 모든 점에 있습니다.
힌트 보기

  1. 바이어슈트라스 정리: 모든 점에서 연속이지만 어떤 점에서도 미분가능하지 않은 함수가 존재합니다. 고전적인 예는 0<a<10 < a < 1, bb가 홀수인 양의 정수, ab>1+3π2ab > 1 + \frac{3\pi}{2}인 ∑n=0∞ancos⁡(bnπx)\sum_{n=0}^{\infty} a^n \cos(b^n \pi x) 형태의 급수입니다.

  2. 아이디어: 연속함수들의 균등수렴 극한은 연속이므로 전체 연속성이 확보되지만, 각 점마다 뾰족한 파형이 차분 몫을 무너뜨려 어느 점에서도 도함수가 존재하지 않습니다. 증명은 생략합니다 — 알려진 결과로 받아들입니다.

10. 미분