위험회피의 측정

위험을 얼마나 싫어하는지 숫자로 재는 법을 본다. 슬라이더 하나로 겁의 크기를 키우고 줄인다.

겁이 클수록 확실한 쪽을 더 높이 친다. 평균이 50원인 도박도, 겁이 크면 확실한 💰 돈 30원에 넘겨버린다. 평균에서 깎인 20원이 위험프리미엄이다. 이 겁을 재는 📏 자가 아래 식이다.

예를 들면, 한 친구는 동전 던지기 게임을 확실한 30원에 바로 그만둔다. 다른 친구는 45원은 받아야 그만둔다. 두 번째 친구가 겁이 더 적은 것이다.

u(x)=x1−γ1−γu(x) = \frac{x^{1-\gamma}}{1-\gamma}
rA(x)=−u′′(x)u′(x)=γxr_A(x) = -\frac{u''(x)}{u'(x)} = \frac{\gamma}{x}

이 씬이 포함된 학습 경로

예제

CRRA 효용에서 γ=1\gamma = 1은 로그 효용 u(x)=ln⁡xu(x) = \ln x에 해당한다.

50-50 복권 (150,50)(150, 50)에 대해 확실성등가와 위험프리미엄을 구하고, 애로-프랫 절대위험회피도 rA(100)r_A(100)을 계산하라.

ln⁡c=12ln⁡150+12ln⁡50=ln⁡150⋅50\ln c = \tfrac{1}{2}\ln 150 + \tfrac{1}{2}\ln 50 = \ln\sqrt{150 \cdot 50}
rA(x)=−u′′(x)u′(x)=1xr_A(x) = -\frac{u''(x)}{u'(x)} = \frac{1}{x}
γ=1\gamma = 1 (로그 효용), 50-50 복권 (150,50)(150, 50).
증명 보기

  1. ln⁡c=12ln⁡150+12ln⁡50=ln⁡150⋅50=ln⁡7500\ln c = \frac{1}{2}\ln 150 + \frac{1}{2}\ln 50 = \ln\sqrt{150 \cdot 50} = \ln\sqrt{7500}이므로 c=7500≈86.60c = \sqrt{7500} \approx 86.60이다. 위험프리미엄은 100−86.60=13.40100 - 86.60 = 13.40이다.

  2. u(x)=ln⁡xu(x) = \ln x이므로 u′(x)=1/xu'(x) = 1/x, u′′(x)=−1/x2u''(x) = -1/x^2이다. 따라서 rA(x)=−u′′(x)/u′(x)=1/xr_A(x) = -u''(x)/u'(x) = 1/x이고, rA(100)=0.01r_A(100) = 0.01이다.

    이는 CRRA의 일반식 rA(x)=γ/xr_A(x) = \gamma/x에서 γ=1\gamma = 1을 대입한 것과 일치한다.

γ=0\gamma = 0일 때 CRRA 소비자가 위험중립적임을 보여라: 50-50 복권 (150,50)(150, 50)의 확실성등가와 위험프리미엄을 구하라.

u(x)=x1−01−0=xu(x) = \frac{x^{1-0}}{1-0} = x
γ=0\gamma = 0 — 위험중립.
증명 보기

  1. γ=0\gamma = 0이면 u(x)=x1/1=xu(x) = x^{1}/1 = x — 선형 효용이다. 기대효용은 U(L)=12⋅150+12⋅50=100=E[L]U(L) = \frac{1}{2} \cdot 150 + \frac{1}{2} \cdot 50 = 100 = \mathbb{E}[L]이다.

  2. 확실성등가는 c=U(L)=100c = U(L) = 100이므로 위험프리미엄은 100−100=0100 - 100 = 0이다. 또한 rA(x)=γ/x=0r_A(x) = \gamma/x = 0 — 애로-프랫 측도도 위험중립을 확인해 준다.

    그림에서는 정규화 곡선이 현과 일치하고 젠센 갭이 사라진다.

7. 불확실성 하의 선택