보험 수요

아플 때와 안 아플 때, 두 경우를 한 그림에 놓고 고른다. 보험은 나쁜 경우의 몫을 키워주는 약속이다.

보험료가 공정하면 나쁜 경우를 완전히 메우는 게 최선이다. 두 경우에 손에 쥐는 💰 돈이 똑같아진다. 보험료에 할증이 붙으면 계산이 바뀐다. 덜 메우는 부분보험이 오히려 유리해진다.

예를 들면, 반 🧑 친구 30명이 매달 100원씩 돈을 모은다. 누군가 다쳐 병원비가 들면 모은 돈에서 도와준다. 아무 일 없으면 낸 100원은 그냥 사라진다. 그래도 다친 친구는 큰돈 걱정을 덜 수 있다.

W1=W−pβ,W2=W−L+(1−p)βW_1 = W - p\beta, \quad W_2 = W - L + (1-p)\beta
max⁡β (1−π)W1+πW2\max_\beta\ (1-\pi)\sqrt{W_1} + \pi\sqrt{W_2}

이 씬이 포함된 학습 경로

예제

부 W=100W = 100, 손실 L=60L = 60 (확률 π=0.3\pi = 0.3), u(x)=xu(x) = \sqrt{x}인 소비자가 보장 1달러당 보험료 pp를 내고 β\beta만큼 보장받는다.

공정보험료 p=πp = \pi에서 최적 보장이 완전보험 β∗=60\beta^* = 60임을 1계 조건으로 보여라.

max⁡β∈[0,60](1−π)W−pβ+πW−L+(1−p)β\max_{\beta \in [0,60]} (1-\pi)\sqrt{W - p\beta} + \pi\sqrt{W - L + (1-p)\beta}
d EUdβ=−(1−π)p2W1+π(1−p)2W2\frac{d\,EU}{d\beta} = -\frac{(1-\pi)p}{2\sqrt{W_1}} + \frac{\pi(1-p)}{2\sqrt{W_2}}
할증 00 — 공정보험료 p=0.3p = 0.3.
증명 보기

  1. 보장 β\beta에서의 조건부 부는 W1=100−pβW_1 = 100 - p\beta, W2=40+(1−p)βW_2 = 40 + (1-p)\beta이다. 기대효용 EU(β)=0.7W1+0.3W2EU(\beta) = 0.7\sqrt{W_1} + 0.3\sqrt{W_2}는 오목함수의 합성이므로 β\beta에 대해 오목하다 — 1계 조건이 충분조건이다.

  2. 1계 조건은 0.7 p2W1=0.3 (1−p)2W2\frac{0.7\,p}{2\sqrt{W_1}} = \frac{0.3\,(1-p)}{2\sqrt{W_2}}이다. 공정보험료 p=π=0.3p = \pi = 0.3을 대입하면 0.21W1=0.21W2\frac{0.21}{\sqrt{W_1}} = \frac{0.21}{\sqrt{W_2}} — 즉 W1=W2W_1 = W_2이다.

  3. W1=W2W_1 = W_2는 100−0.3β=40+0.7β100 - 0.3\beta = 40 + 0.7\beta, 즉 β=60=L\beta = 60 = L을 뜻한다 — 손실 전액을 보장받는 완전보험이다. 이때 W1=W2=100−18=82W_1 = W_2 = 100 - 18 = 82로 45도선 위에 놓인다.

    그림에서 예산선과 가장 높은 무차별곡선이 45도선 위에서 접한다.

같은 설정에서 보험료에 20% 할증이 붙어 p=0.3×1.2=0.36p = 0.3 \times 1.2 = 0.36이라 하자.

최적 보장을 구하고, 완전보험이 아님(부분보험)을 확인하라.

p=0.36,0.7×0.36W1=0.3×0.64W2p = 0.36, \qquad \frac{0.7 \times 0.36}{\sqrt{W_1}} = \frac{0.3 \times 0.64}{\sqrt{W_2}}
W2=40+1−pp(100−W1)=40+1.778 (100−W1)W_2 = 40 + \frac{1-p}{p}(100 - W_1) = 40 + 1.778\,(100 - W_1)
할증 0.20.2 — 보험료율 p=0.36p = 0.36.
증명 보기

  1. 1계 조건은 0.252W1=0.192W2\frac{0.252}{\sqrt{W_1}} = \frac{0.192}{\sqrt{W_2}}이다. 정리하면 W2W1=(0.1920.252)2≈0.5805\frac{W_2}{W_1} = \left(\frac{0.192}{0.252}\right)^2 \approx 0.5805 — 최적점은 45도선 아래(손실 상태의 부가 더 작음)에 있다.

  2. 예산선 W2=40+1.778 (100−W1)W_2 = 40 + 1.778\,(100 - W_1)와 연립하면 W1≈92.35W_1 \approx 92.35, W2≈53.61W_2 \approx 53.61이다. 최적 보장은 β∗=(100−92.35)/0.36≈21.26<60\beta^* = (100 - 92.35)/0.36 \approx 21.26 < 60 — 손실의 일부만 보장받는 부분보험이다.

  3. 할증이 붙으면 보험의 "가격"이 공정보험료보다 비싸지므로, 위험회피적 소비자라도 완전보험을 사지 않는다. 그림에서 최적점이 45도선 아래의 예산선 위에 놓이고, 무차별곡선이 그 점에서 예산선에 접한다.

7. 불확실성 하의 선택