기대효용

복권의 점수를 매기는 법을 본다. 결과마다 행복 점수를 정하고, 확률을 곱해 평균을 낸 값이다.

핵심은 💰 돈이 늘어도 행복은 같은 속도로 늘지 않는다는 점이다. 돈이 많을수록 한 푼이 주는 행복은 줄어든다. 그래서 평균만큼을 확실히 받는 행복이 도박 자체의 행복보다 크다. 이 차이가 젠센 갭이다.

예를 들면, 동전을 던져 앞면이면 100원, 뒷면이면 0원을 받는 게임이 있다. 평균 상금은 50원이다. 그런데 그냥 40원을 주겠다고 하면 많은 친구가 40원을 고른다. 확실한 쪽이 마음이 편하기 때문이다.

U(L)=∑npn u(xn)U(L) = \sum_n p_n\, u(x_n)
u concave ⇒U(L)≤u(E[L])(Jensen)u \text{ concave } \Rightarrow U(L) \le u(\mathbb{E}[L]) \quad \text{(Jensen)}

이 씬이 포함된 학습 경로

예제

베르누이 효용이 u(x)=xu(x) = \sqrt{x}인 소비자가 150150을 확률 1/21/2, 5050을 확률 1/21/2로 주는 복권 LL을 평가한다.

기댓값, 기대효용, 확실성등가를 직접 계산하고, 아래 젠센 부등식이 엄격하게 성립함을 확인하라.

E[L]=12⋅150+12⋅50=100\mathbb{E}[L] = \tfrac{1}{2} \cdot 150 + \tfrac{1}{2} \cdot 50 = 100
U(L)=12150+1250≈9.659U(L) = \tfrac{1}{2}\sqrt{150} + \tfrac{1}{2}\sqrt{50} \approx 9.659
U(L)≤u(E[L])U(L) \le u(\mathbb{E}[L])
150150/5050을 1/21/2씩 주는 복권, u(x)=xu(x) = \sqrt{x}.
증명 보기

  1. 기댓값은 E[L]=100\mathbb{E}[L] = 100이다. 기대효용은 U(L)=12150+1250≈12(12.247+7.071)≈9.659U(L) = \frac{1}{2}\sqrt{150} + \frac{1}{2}\sqrt{50} \approx \frac{1}{2}(12.247 + 7.071) \approx 9.659이다.

  2. 확실성등가 cc는 u(c)=U(L)u(c) = U(L)을 풀어 c≈9.659\sqrt{c} \approx 9.659, 즉 c≈93.30c \approx 93.30이다. 기댓값의 효용은 u(E[L])=100=10>9.659=U(L)u(\mathbb{E}[L]) = \sqrt{100} = 10 > 9.659 = U(L) — 오목한 uu에 대한 엄격한 젠센 부등식이다.

    Jensen gap=u(E[L])−U(L)≈10−9.659=0.341>0\text{Jensen gap} = u(\mathbb{E}[L]) - U(L) \approx 10 - 9.659 = 0.341 > 0

  3. 위험프리미엄은 E[L]−c≈100−93.30=6.70\mathbb{E}[L] - c \approx 100 - 93.30 = 6.70이다. 그림에서 이 간극은 기댓값 위의 수직선분(젠센 갭)과, 확실성등가 표시가 기댓값 왼쪽에 놓이는 것으로 읽힌다.

같은 복권 LL을 베르누이 효용 u(x)=xu(x) = x인 위험중립적 소비자가 평가한다.

기대효용, 확실성등가, 젠센 갭을 구하고, 위험프리미엄이 0이 됨을 보여라.

U(L)=12⋅150+12⋅50=100=E[L]U(L) = \tfrac{1}{2} \cdot 150 + \tfrac{1}{2} \cdot 50 = 100 = \mathbb{E}[L]
같은 복권, 선형 효용 u(x)=xu(x) = x — 위험중립.
증명 보기

  1. 선형 효용에서는 U(L)=12⋅150+12⋅50=100=E[L]U(L) = \frac{1}{2} \cdot 150 + \frac{1}{2} \cdot 50 = 100 = \mathbb{E}[L]이다. 기댓값 연산자가 선형이므로, 선형 uu는 기댓값을 그대로 통과시킨다.

  2. 확실성등가는 c=U(L)=100=E[L]c = U(L) = 100 = \mathbb{E}[L]이다. 젠센 갭은 u(E[L])−U(L)=100−100=0u(\mathbb{E}[L]) - U(L) = 100 - 100 = 0이고, 위험프리미엄 E[L]−c=0\mathbb{E}[L] - c = 0이다 — 위험중립적 소비자는 복권과 그 기댓값에 무차별하다.

    그림에서는 현(chord)이 곡선 위에 정확히 겹친다.

7. 불확실성 하의 선택