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연습문제

이 장의 내용을 확인하는 연습문제이다. 풀이는 접어서 두었으니 먼저 스스로 풀어 보자.

쉬움

1쉬움계산형

u(x)=xu(x) = \sqrt{x}인 소비자가 144144를 확률 1/21/2, 3636을 확률 1/21/2로 주는 복권을 평가한다. 확실성등가와 위험프리미엄을 구하라.

c solves u(c)=U(L),premium=E[L]−cc \text{ solves } u(c) = U(L), \qquad \text{premium} = \mathbb{E}[L] - c
144144/3636 복권, u(x)=xu(x) = \sqrt{x} — 확실성등가 8181.
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  1. 기댓값은 E[L]=12⋅144+12⋅36=90\mathbb{E}[L] = \frac{1}{2} \cdot 144 + \frac{1}{2} \cdot 36 = 90이다. 기대효용은 U(L)=12144+1236=12(12+6)=9U(L) = \frac{1}{2}\sqrt{144} + \frac{1}{2}\sqrt{36} = \frac{1}{2}(12 + 6) = 9이다.

  2. 확실성등가 cc는 c=9\sqrt{c} = 9에서 c=81c = 81이다. 위험프리미엄은 90−81=990 - 81 = 9 — 소비자는 복권을 포기하는 대가로 기댓값보다 9만큼 적은 확정금액을 받아들인다.

정답

확실성등가 c=81c = 81, 위험프리미엄 =9= 9

보통

2보통

CRRA 효용 u(x)=x1−γ/(1−γ)u(x) = x^{1-\gamma}/(1-\gamma)에서 γ→1\gamma \to 1일 때 (정규화된) 효용이 로그 효용으로 수렴함을 보여라: lim⁡γ→1x1−γ−11−γ=ln⁡x\lim_{\gamma \to 1} \frac{x^{1-\gamma} - 1}{1-\gamma} = \ln x.

lim⁡γ→1x1−γ−11−γ=ln⁡x\lim_{\gamma \to 1} \frac{x^{1-\gamma} - 1}{1-\gamma} = \ln x
γ=1\gamma = 1 — 로그 효용의 극한.
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  1. γ→1\gamma \to 1에서 분자와 분모가 모두 00으로 가므로 0/00/0 꼴이다. γ\gamma에 대해 로피탈 정리를 적용한다: 분자의 도함수는 ddγ(x1−γ−1)=−x1−γln⁡x→−ln⁡x\frac{d}{d\gamma}(x^{1-\gamma} - 1) = -x^{1-\gamma}\ln x \to -\ln x, 분모의 도함수는 −1-1이다.

  2. 따라서 극한은 (−ln⁡x)/(−1)=ln⁡x(-\ln x)/(-1) = \ln x이다. x1−γ/(1−γ)x^{1-\gamma}/(1-\gamma)와 (x1−γ−1)/(1−γ)(x^{1-\gamma}-1)/(1-\gamma)는 γ\gamma가 고정된 상태에서는 xx에 대한 어파인 변환 차이뿐이므로 같은 선호를 나타낸다 — 그래서 γ=1\gamma = 1인 CRRA를 로그 효용이라 부른다.

3보통

W=100W = 100, 손실 L=60L = 60 (확률 π=0.3\pi = 0.3), u(x)=xu(x) = \sqrt{x}인 소비자가 보장 1달러당 보험료율 pp로 β\beta만큼 보장받는다. 기대효용을 β\beta로 미분하여 1계 조건을 유도하고, 이를 만족하는 β∗(p)\beta^*(p)를 구하라. p=0.3p = 0.3일 때의 값을 확인하라.

EU(β)=(1−π)W−pβ+πW−L+(1−p)βEU(\beta) = (1-\pi)\sqrt{W - p\beta} + \pi\sqrt{W - L + (1-p)\beta}
d EUdβ=−(1−π)p2W1+π(1−p)2W2=0\frac{d\,EU}{d\beta} = -\frac{(1-\pi)p}{2\sqrt{W_1}} + \frac{\pi(1-p)}{2\sqrt{W_2}} = 0
공정보험료 — 45도선 위의 완전보험 β∗=60\beta^* = 60.
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  1. 연쇄법칙으로 d EUdβ=(1−π)−p2W1+π1−p2W2\frac{d\,EU}{d\beta} = (1-\pi)\frac{-p}{2\sqrt{W_1}} + \pi\frac{1-p}{2\sqrt{W_2}}이다. 00으로 두면 (1−π)pW1=π(1−p)W2\frac{(1-\pi)p}{\sqrt{W_1}} = \frac{\pi(1-p)}{\sqrt{W_2}} — 보장 한계 1달러의 한계비용과 한계편익이 같아지는 점이다.

  2. 수치 대입: 0.7 p100−pβ=0.3 (1−p)40+(1−p)β\frac{0.7\,p}{\sqrt{100 - p\beta}} = \frac{0.3\,(1-p)}{\sqrt{40 + (1-p)\beta}}. 양변을 제곱하고 β\beta에 대해 풀면 2차식이 되지만, p=0.3p = 0.3에서는 0.21W1=0.21W2\frac{0.21}{\sqrt{W_1}} = \frac{0.21}{\sqrt{W_2}}이므로 W1=W2W_1 = W_2 — 즉 100−0.3β=40+0.7β100 - 0.3\beta = 40 + 0.7\beta에서 β∗=60\beta^* = 60이다. 공정보험료에서는 완전보험이 최적이다.

어려움

4어려움

CRRA 효용을 가진 두 소비자 A(γA=0.5\gamma_A = 0.5)와 B(γB=2\gamma_B = 2)가 50-50 복권 (150,50)(150, 50)을 평가한다. 각자의 확실성등가와 위험프리미엄을 계산하고, 누가 더 위험회피적인지 애로-프랫 측도로 설명하라.

c(γ)=[12⋅1501−γ+12⋅501−γ]11−γc(\gamma) = \left[\tfrac{1}{2} \cdot 150^{1-\gamma} + \tfrac{1}{2} \cdot 50^{1-\gamma}\right]^{\frac{1}{1-\gamma}}
rA(x)=γxr_A(x) = \frac{\gamma}{x}
γ=2\gamma = 2 — 확실성등가 75.075.0, 위험프리미엄 25.025.0.
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  1. γA=0.5\gamma_A = 0.5이면 cA=[12150+1250]2≈9.6592≈93.30c_A = \left[\frac{1}{2}\sqrt{150} + \frac{1}{2}\sqrt{50}\right]^2 \approx 9.659^2 \approx 93.30이다. 위험프리미엄은 100−93.30=6.70100 - 93.30 = 6.70이다.

  2. γB=2\gamma_B = 2이면 1−γ=−11-\gamma = -1이므로 cB=[12⋅150−1+12⋅50−1]−1=10.5/150+0.5/50=10.01333=75.0c_B = \left[\frac{1}{2} \cdot 150^{-1} + \frac{1}{2} \cdot 50^{-1}\right]^{-1} = \frac{1}{0.5/150 + 0.5/50} = \frac{1}{0.01333} = 75.0이다. 위험프리미엄은 100−75=25.0100 - 75 = 25.0으로 A보다 크다.

  3. 애로-프랫 측도는 rA(x)=γ/xr_A(x) = \gamma/x이므로 x=100x = 100에서 rAA=0.005r_A^A = 0.005, rBA=0.02r_B^A = 0.02이다 — B가 모든 부 수준에서 더 위험회피적이며, 이는 낮은 확실성등가와 큰 위험프리미엄으로 나타난다. γ\gamma가 오르면 CE가 기댓값에서 멀어진다는 씬의 관찰과 일치한다.