사회후생함수

이 씬은 두 사람의 행복을 하나의 점수로 합친다. 가능한 행복 조합들 중에서 최고를 고른다.

합치는 방식은 슬라이더 하나로 바뀐다. 총합만 보면 합이 큰 쪽이 이긴다. 불평등을 싫어할수록 점수가 달라진다. 극단에서는 더 불행한 사람의 행복만 본다. 최적점은 공평한 대각선 쪽으로 미끄러진다. 아래 식이 그 합치는 방식을 정한다.

예를 들면, 🍬 사탕 15개를 두 🧑 친구가 나눈다. 한 친구가 9개, 다른 친구가 6개를 가진다. 총합만 보면 이 나눔이 최고 점수다. 공평함을 중시하면 7개 반씩 나눈다. 적게 받은 친구의 행복이 전체 점수를 정한다.

W_\rho = \left(\frac{u_1^\rho + u_2^\rho}{2}\right)^{1/\rho}

이 씬이 포함된 학습 경로

효용가능경계 $(u_1/12)^2 + (u_2/10)^2 = 1$ 에서 공리주의 최적점( $u_1 + u_2$ 최대화)을 구하라.

(u_1^*, u_2^*) \approx (9.22,\ 6.40)

\rho = 1

— 공리 최적

(9.22, 6.40)

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라그랑지안: $1 = \lambda \cdot 2u_1/144$ , $1 = \lambda \cdot 2u_2/100$ 에서 $u_1/144 = u_2/100$ , 즉 $u_2 = 0.6944\, u_1$ 이다.
경계에 대입: $u_1^2/144 + (0.6944\,u_1)^2/100 = 1$ 에서 $u_1^2 = 84.98$ 이므로 $u_1 \approx 9.22$ , $u_2 \approx 6.40$ 이다.

같은 경계에서 롤스(최소값 최대화) 최적점을 구하고,

공리주의 최적점과 비교하라.

(u_1^R, u_2^R) \approx (7.68,\ 7.68) \ne (9.22,\ 6.40)

\rho \to -\infty

— 롤스점

(7.68, 7.68)

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$\min(u_1, u_2)$ 를 최대화하려면 경계와 45도선의 교점: $u_1 = u_2 = u$ 에서 $u^2/144 + u^2/100 = 1$ 이므로 $u^2 = 59.02$ , $u \approx 7.68$ 이다.
롤스점 $(7.68, 7.68)$ 은 공리주의점 $(9.22, 6.40)$ 과 다르다 — 사회후생함수의 선택(불평등 회피도 $\rho$ )이 "최적" 분배를 바꾼다.