Arrow의 정리

이 씬은 여러 사람의 순위를 하나로 합치는 규칙을 시험한다. 프로파일과 규칙을 바꿔가며 눌러보자.

다수결은 빙글빙글 돌 수 있다. A가 B를 이기고 B가 C를 이긴다. 그런데 C가 A를 이겨버린다. 보르다 점수제는 엉뚱한 대안에 흔들린다. 꼴찌 대안을 지우면 순위가 뒤집힌다. 네 가지 공정한 조건을 모두 지키는 규칙은 없다.

예를 들면, 반장 선거에 🧑 친구 세 명이 나왔다. 반을 셋으로 나누면 선호가 서로 어긋난다. 둘씩 붙이면 A가 B를, B가 C를 이긴다. 그런데 C가 A를 이겨버린다. 다수결만으로는 반장을 못 정한다.

\text{no rule satisfies U + P + IIA + non-dictatorship}

이 씬이 포함된 학습 경로

반례형

프로파일 (1: $A > B > C$ , 2: $B > C > A$ , 3: $C > A > B$ )에서 쌍대 다수결이 순환함을 직접 계산으로 보여라.

A > B,\quad B > C,\quad C > A

판정

이 명제는 거짓이다 — 쌍대 다수결은 $A > B > C > A$ 로 순환하므로 전이적 사회적 순위를 만들지 못한다.

콩도르세 역설 — 전이적 사회적 순위가 없다.

증명 보기

반례 구성과 검증

$A$ 대 $B$ : 유권자 1과 3이 $A > B$ 를 지지하므로 $A > B$ (2–1).
$B$ 대 $C$ : 유권자 1과 2가 $B > C$ 이므로 $B > C$ (2–1). $C$ 대 $A$ : 유권자 2와 3이 $C > A$ 이므로 $C > A$ (2–1). 따라서 $A > B > C > A$ 순환 — 쌍대 다수결은 전이적 순위를 만들지 못한다.

반례형

프로파일 (1, 2: $B > A > C$ , 3: $A > C > B$ )에서 보르다 점수를 구하고, $C$ 를 제거하면 $A$ – $B$ 순서가 어떻게 바뀌는지 보여라 (IIA 위반).

\text{full: } A = B = 4,\quad \text{without } C\text{: } B = 2 > 1 = A

판정

이 명제는 거짓이다 — 보르다 규칙은 IIA를 위반한다: 관련 없는 대안 $C$ 를 제거하면 $A$ 와 $B$ 의 순서가 바뀐다.

C

제거 전후로

A

–

B

순서가 바뀐다.

증명 보기

반례 구성과 검증

전체 보르다 점수(2/1/0): $A = 1+1+2 = 4$ , $B = 2+2+0 = 4$ , $C = 0+0+1 = 1$ — $A$ 와 $B$ 가 동점이다.
$C$ 를 제거하면(1/0): $B = 1+1+0 = 2$ , $A = 0+0+1 = 1$ — $B$ 가 이긴다. 관련 없는 대안 $C$ 의 제거가 $A$ – $B$ 순위를 바꿨으므로 IIA가 깨진다.