등량곡선

이 씬에서는 생산함수의 등량곡선 지도를 그린다.

등량곡선은 같은 양을 만들 수 있는 투입 조합을 이은 선이다. 기준 투입점을 옮기면 접선의 기울기가 바뀐다. 그 기울기가 아래 식의 기술적 한계대체율이다. 투입 하나를 다른 투입 몇 단위로 바꿀 수 있는지 알려준다.

예를 들면, 🧑 사람 1명을 줄이고 ⚙️ 기계 1대를 더 써도 🍞 빵 100개를 그대로 구울 수 있다. 사람이 귀해질수록 사람 1명의 값어치는 더 커진다.

q=z1αz2βq = z_1^{\alpha} z_2^{\beta}
MRTS=∂f/∂z1∂f/∂z2=αβz2z1MRTS = \frac{\partial f/\partial z_1}{\partial f/\partial z_2} = \frac{\alpha}{\beta}\frac{z_2}{z_1}

이 씬이 포함된 학습 경로

예제

q=z11/2z21/2q = z_1^{1/2} z_2^{1/2}라 하자.

기준 투입점 (z1,z2)=(4,9)(z_1, z_2) = (4, 9)에서의 기술적 한계대체율 MRTS를 직접 미분으로 계산하라.

MRTS=∂q/∂z1∂q/∂z2=(1/2)z1−1/2z21/2(1/2)z11/2z2−1/2=z2z1MRTS = \frac{\partial q / \partial z_1}{\partial q / \partial z_2} = \frac{(1/2) z_1^{-1/2} z_2^{1/2}}{(1/2) z_1^{1/2} z_2^{-1/2}} = \frac{z_2}{z_1}
MRTS(4,9)=94=2.25MRTS(4, 9) = \frac{9}{4} = 2.25
α=β=1/2\alpha = \beta = 1/2, 기준점 (4,9)(4, 9) — MRTS 접선.
증명 보기

  1. 한계생산물을 각각 구한다: ∂q/∂z1=12z1−1/2z21/2\partial q/\partial z_1 = \tfrac{1}{2} z_1^{-1/2} z_2^{1/2}, ∂q/∂z2=12z11/2z2−1/2\partial q/\partial z_2 = \tfrac{1}{2} z_1^{1/2} z_2^{-1/2}.

  2. 비율을 취하면 상수가 소거되어 MRTS=z2/z1MRTS = z_2/z_1이 되고, 기준점에서는 9/4=2.259/4 = 2.25이다. 그림의 점선 접선 기울기가 −2.25-2.25인 이유이다.

  3. 해석: z1z_1을 1단위 줄이면 산출량을 유지하기 위해 (1계 근사로) z2z_2를 2.25단위 늘려야 한다. z2z_2가 상대적으로 풍부한 점이므로 z1z_1의 가치가 높게 측정된다.

α=0.6\alpha = 0.6, β=0.6\beta = 0.6인 콥-더글러스 생산함수의 규모수확을 판정하고, 투입을 2배로 늘릴 때 산출량이 몇 배가 되는지 계산하라.

f(tz1,tz2)=(tz1)0.6(tz2)0.6=t1.2f(z1,z2)f(tz_1, tz_2) = (tz_1)^{0.6}(tz_2)^{0.6} = t^{1.2} f(z_1, z_2)
f(2z1,2z2)=21.2f(z1,z2)≈2.297 f(z1,z2)f(2z_1, 2z_2) = 2^{1.2} f(z_1, z_2) \approx 2.297\, f(z_1, z_2)
α=β=0.6\alpha = \beta = 0.6 (체증), 기준점 (5,5)(5, 5).
증명 보기

  1. α+β=1.2>1\alpha + \beta = 1.2 > 1이므로 규모수확 체증이다 — 투입을 tt배 하면 산출량은 t1.2t^{1.2}배가 된다.

  2. 21.2=e1.2ln⁡2≈2.2972^{1.2} = e^{1.2 \ln 2} \approx 2.297: 투입 2배에 산출량은 약 2.30배 — 체증의 정의대로 2배를 초과한다.

6. 생산