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연습문제

이 장의 내용을 확인하는 연습문제이다. 풀이는 접어서 두었으니 먼저 스스로 풀어 보자.

쉬움

1쉬움계산형

q=z11/3z22/3q = z_1^{1/3} z_2^{2/3}인 생산함수에 대해 점 (z1,z2)=(2,8)(z_1, z_2) = (2, 8)에서의 기술적 한계대체율 MRTS를 구하라.

MRTS=αβz2z1MRTS = \frac{\alpha}{\beta}\frac{z_2}{z_1}
α=1/3\alpha = 1/3, β=2/3\beta = 2/3, 기준점 (2,8)(2, 8).
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  1. 공식에 대입한다: MRTS=1/32/3⋅82=12⋅4=2MRTS = \frac{1/3}{2/3} \cdot \frac{8}{2} = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2.

  2. 즉 등량곡선의 기울기는 −2-2이다: z1z_1을 1단위 줄이면 산출량을 유지하기 위해 z2z_2를 약 2단위 늘려야 한다.

정답

MRTS=2MRTS = 2

보통

2보통

w1=3w_1 = 3, w2=1w_2 = 1, q=10q = 10, α=β=1/2\alpha = \beta = 1/2일 때 조건부 요소수요 z(w,q)z(w, q)와 최소비용 c(w,q)c(w, q)를 구하라.

z1=[q(αw2βw1)β]1/(α+β),z2=z1βw1αw2z_1 = \left[q\left(\frac{\alpha w_2}{\beta w_1}\right)^{\beta}\right]^{1/(\alpha+\beta)}, \quad z_2 = z_1\frac{\beta w_1}{\alpha w_2}
w=(3,1)w = (3, 1), q=10q = 10 — 비싼 z1z_1을 절약하는 접점.
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  1. z1=[10⋅(1/3)1/2]1=10/3≈5.774z_1 = [10 \cdot (1/3)^{1/2}]^{1} = 10/\sqrt{3} \approx 5.774이다. 비싼 z1z_1을 적게 쓰는 방향이다.

  2. z2=3z1=103≈17.321z_2 = 3 z_1 = 10\sqrt{3} \approx 17.321이고, c=3⋅10/3+103=203≈34.64c = 3 \cdot 10/\sqrt{3} + 10\sqrt{3} = 20\sqrt{3} \approx 34.64이다. 검산: 5.774×17.321=10\sqrt{5.774 \times 17.321} = 10 ✓.

3보통

C(q)=40+30q−4q2+12q3C(q) = 40 + 30q - 4q^2 + \tfrac{1}{2}q^3일 때 평균가변비용을 최소화하는 산출량과 그때의 한계비용을 구하라.

AVC(q)=a+bq+cq2AVC(q) = a + bq + cq^2
평균가변비용 최저점 q=4q = 4와 한계비용의 교차.
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  1. AVC(q)=(C(q)−40)/q=30−4q+0.5q2AVC(q) = (C(q) - 40)/q = 30 - 4q + 0.5q^2이다. AVC′(q)=−4+q=0AVC'(q) = -4 + q = 0에서 q=4q = 4.

  2. AVC(4)=30−16+8=22AVC(4) = 30 - 16 + 8 = 22이고, MC(q)=30−8q+1.5q2MC(q) = 30 - 8q + 1.5q^2이므로 MC(4)=30−32+24=22MC(4) = 30 - 32 + 24 = 22 — 한계비용 곡선이 평균가변비용 곡선의 최저점을 정확히 지난다.

어려움

4어려움

α=0.3\alpha = 0.3, β=0.4\beta = 0.4 (규모수확 체감), w1=w2=1w_1 = w_2 = 1이라 하자. c(w,16)/c(w,8)c(w, 16)/c(w, 8)을 조건부 요소수요 공식으로 계산하고, 왜 2를 초과하는지 설명하라. 일반적으로 c(w,q)c(w, q)는 qq에 대해 몇 차 동차인가?

c(w,tq)=t1/(α+β) c(w,q)c(w, tq) = t^{1/(\alpha+\beta)}\, c(w, q)
α=0.3\alpha = 0.3, β=0.4\beta = 0.4 (체감), q=8q = 8.
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  1. s=α+β=0.7s = \alpha + \beta = 0.7이라 두면 z1(w,q)=[q⋅K]1/sz_1(w, q) = [q \cdot K]^{1/s} (단 K=(αw2/βw1)βK = (\alpha w_2/\beta w_1)^\beta는 qq와 무관)이므로 z(w,q)z(w, q)는 qq에 대해 1/s1/s차 동차이고, 따라서 c(w,q)=w⋅z(w,q)c(w, q) = w \cdot z(w, q)도 1/s1/s차 동차이다.

  2. 따라서 c(w,16)/c(w,8)=21/0.7≈2.69c(w, 16)/c(w, 8) = 2^{1/0.7} \approx 2.69. 규모수확 체감 하에서는 산출량을 2배로 늘리려면 투입을 2배보다 많이 늘려야 하므로 비용도 2배보다 많이 오른다. 일반적으로 c(w,q)c(w, q)는 qq에 대해 1/(α+β)1/(\alpha+\beta)차 동차이다.