비용극소화

이 씬에서는 목표 산출량을 가장 싸게 만드는 투입 조합을 찾는다.

가장 싼 조합은 등량곡선에 등비용선이 닿는 자리다. 요소가격이 바뀌면 그 자리가 미끄러져 옮겨 간다. 비싸진 투입은 줄이고 싼 투입은 늘리는 쪽으로 움직인다. 그때의 최소 비용이 아래 식의 비용함수다.

예를 들면, 🍞 빵 100개를 구울 때 💵 임금이 오르고 ⚙️ 기계 값은 그대로다. 그러면 🧑 사람을 줄이고 기계를 늘리는 조합이 가장 싸진다.

min⁡zw⋅zs.t.f(z)≥q\min_z w\cdot z \quad \text{s.t.} \quad f(z) \ge q
c(w,q)=w1z1(w,q)+w2z2(w,q)c(w,q) = w_1 z_1(w,q) + w_2 z_2(w,q)

이 씬이 포함된 학습 경로

예제

w1=w2=1w_1 = w_2 = 1, q=8q = 8, α=β=1/2\alpha = \beta = 1/2일 때 조건부 요소수요 z(w,q)z(w, q)와 비용함수 값 c(w,q)c(w, q)를 1계 조건으로 구하라.

w1w2=MRTS=z2z1  ⇒  z1=z2\frac{w_1}{w_2} = MRTS = \frac{z_2}{z_1} \;\Rightarrow\; z_1 = z_2
8=z11/2z21/2=z1  ⇒  z(w,q)=(8,8),c(w,q)=168 = z_1^{1/2} z_2^{1/2} = z_1 \;\Rightarrow\; z(w,q) = (8, 8), \quad c(w, q) = 16
w=(1,1)w = (1, 1), q=8q = 8 — 대칭 해.
증명 보기

  1. 내부해의 1계 조건은 요소가격비 = MRTS이다: 1=z2/z11 = z_2/z_1, 즉 z1=z2z_1 = z_2.

  2. 생산함수에 대입하면 8=z11/2z11/2=z18 = z_1^{1/2} z_1^{1/2} = z_1이므로 z=(8,8)z = (8, 8)이고, c=1⋅8+1⋅8=16c = 1 \cdot 8 + 1 \cdot 8 = 16이다. 그림에서 등비용선 z1+z2=16z_1 + z_2 = 16이 등량곡선에 접하는 점이 바로 이 점이다.

w1w_1이 11에서 22로 오르면 (w2=1w_2 = 1 유지) 조건부 요소수요가 어떻게 바뀌는가?

수치로 구하고 접점 조건 w1/w2=MRTSw_1/w_2 = MRTS가 성립함을 확인하라.

z1=[8(12)1/2]=42≈5.657z_1 = \left[8\left(\tfrac{1}{2}\right)^{1/2}\right] = 4\sqrt{2} \approx 5.657
z2=2z1=82≈11.314,c=162≈22.627z_2 = 2 z_1 = 8\sqrt{2} \approx 11.314, \quad c = 16\sqrt{2} \approx 22.627
w1=2w_1 = 2로 상승 — 비싼 요소에서 싼 요소로 대체.
증명 보기

  1. 공식에 대입한다: z1=[8⋅(1/2)1/2]=42≈5.657z_1 = [8 \cdot (1/2)^{1/2}] = 4\sqrt{2} \approx 5.657, z2=z1⋅2/1≈11.314z_2 = z_1 \cdot 2/1 \approx 11.314. 대칭 해 (8,8)(8, 8)에서 비싸진 z1z_1은 줄이고 싼 z2z_2는 늘렸다 — 조건부 요소수요의 대체이다.

  2. 검산: f(5.657,11.314)=5.657×11.314=8f(5.657, 11.314) = \sqrt{5.657 \times 11.314} = 8 ✓, MRTS=z2/z1=2=w1/w2MRTS = z_2/z_1 = 2 = w_1/w_2 ✓. 비용은 2⋅5.657+11.314=162≈22.632 \cdot 5.657 + 11.314 = 16\sqrt{2} \approx 22.63으로 올랐다.

6. 생산