비용곡선

이 씬에서는 총비용곡선에서 한계비용과 평균비용 곡선을 뽑아 본다.

한계비용은 한 단위 더 만들 때 드는 추가 비용이다. 평균비용은 총비용을 산출량으로 나눈 값이다. 추가 비용이 평균보다 싸면 평균은 내려간다. 그래서 한계비용 곡선은 평균비용 곡선의 가장 낮은 점을 정확히 지난다.

예를 들면, 🏪 가게에서 🍞 빵 한 개당 평균 비용이 1,000원이다. 한 개 더 굽는 비용이 800원이면 평균은 내려간다. 1,200원이면 평균은 올라간다. 그래서 한계비용은 평균비용의 가장 낮은 점에서 만난다.

C(q)=F+aq+bq2+cq3C(q) = F + aq + bq^2 + cq^3
MC(q)=C′(q),AC(q)=C(q)qMC(q) = C'(q), \quad AC(q) = \frac{C(q)}{q}

이 씬이 포함된 학습 경로

예제

C(q)=40+30q−4q2+12q3C(q) = 40 + 30q - 4q^2 + \tfrac{1}{2}q^3일 때 평균비용을 최소화하는 산출량을 구하고, 그 점에서 MC=ACMC = AC임을 보여라.

AC(q)=40q+30−4q+12q2,AC′(q)=−40q2−4+q=0AC(q) = \frac{40}{q} + 30 - 4q + \tfrac{1}{2}q^2, \quad AC'(q) = -\frac{40}{q^2} - 4 + q = 0
q∗≈5.38,AC(q∗)≈30.39=MC(q∗)q^* \approx 5.38, \quad AC(q^*) \approx 30.39 = MC(q^*)
3차 비용함수 — 한계비용이 평균비용 최저점을 관통.
증명 보기

  1. AC′(q)=−40/q2−4+qAC'(q) = -40/q^2 - 4 + q이다.

    q=5q = 5에서 −1.6−4+5=−0.6<0-1.6 - 4 + 5 = -0.6 < 0이고 q=6q = 6에서 −1.11−4+6=0.89>0-1.11 - 4 + 6 = 0.89 > 0이므로 근은 (5,6)(5, 6) 안에 있다.

    수치해는 q∗≈5.38q^* \approx 5.38.

  2. AC(5.38)=40/5.38+30−4(5.38)+0.5(5.38)2≈30.39AC(5.38) = 40/5.38 + 30 - 4(5.38) + 0.5(5.38)^2 \approx 30.39. 한계비용 MC(q)=30−8q+1.5q2MC(q) = 30 - 8q + 1.5q^2에 대입하면 MC(5.38)≈30.39MC(5.38) \approx 30.39 — 일치한다.

  3. 이는 우연이 아니다: 몫의 미분법에 의해 AC′(q)=(MC(q)⋅q−C(q))/q2AC'(q) = (MC(q)\cdot q - C(q))/q^2이므로, AC′(q)=0  ⟺  MC(q)=AC(q)AC'(q) = 0 \iff MC(q) = AC(q)이다. 한계비용 곡선은 평균비용 곡선의 극값을 정확히 지난다.

고정비용 FF가 한계비용에 영향을 주지 않음을 보이고, F=0F = 0일 때 AC=AVCAC = AVC이며 두 곡선의 최저점이 일치함을 확인하라.

MC(q)=ddq(F+aq+bq2+cq3)=a+2bq+3cq2MC(q) = \frac{d}{dq}(F + aq + bq^2 + cq^3) = a + 2bq + 3cq^2
F=0  ⇒  AC(q)=AVC(q)=30−4q+12q2,min⁡ at q=4,  =22F = 0 \;\Rightarrow\; AC(q) = AVC(q) = 30 - 4q + \tfrac{1}{2}q^2, \quad \min \text{ at } q = 4,\; = 22
F=0F = 0 — 평균비용과 평균가변비용이 겹친다.
증명 보기

  1. C(q)C(q)를 미분하면 상수 FF가 사라지므로 MC(q)=a+2bq+3cq2MC(q) = a + 2bq + 3cq^2는 FF와 무관하다. 고정비용은 한계적 의사결정에 영향을 주지 않는다 — 매몰비용이다.

  2. F=0F = 0이면 AC(q)=(30q−4q2+0.5q3)/q=30−4q+0.5q2=AVC(q)AC(q) = (30q - 4q^2 + 0.5q^3)/q = 30 - 4q + 0.5q^2 = AVC(q)이다. dAC/dq=−4+q=0dAC/dq = -4 + q = 0에서 q=4q = 4, 값은 30−16+8=2230 - 16 + 8 = 22이며 MC(4)=30−32+24=22MC(4) = 30 - 32 + 24 = 22로 일치한다 — 두 곡선이 공유하는 최저점에서 MC가 관통한다.

6. 생산