어떤 노력을 살 것인가

$p_1 = 0.8$ , $p_0 = 0.2$ , $x_H = 2000$ , $x_L = 0$ , $\bar u = 20$ , $\alpha = 1/2$ , $c = 10$ 이라 하자.

본인이 높은 노력을 유인할 때와 낮은 노력에 안주할 때의 이윤을 각각 구하고, 어느 쪽을 선택해야 하는지 밝혀라.

\Pi_1 = 0.8 \times 2000 - C_1, \qquad \Pi_0 = 0.2 \times 2000 - \bar u^2

c = 10

\alpha = 1/2

— 현재 점은 "높은 노력 유인" 영역에 있다.

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높은 노력을 유인하면 기대산출은 $0.8 \times 2000 = 1600$ 이고, 앞 문제에서 구한 기대임금은 $C_1 = 944.44$ 이다. 따라서 $\Pi_1 = 1600 - 944.44 = 655.56$ 이다.
낮은 노력에 안주하면 정액임금 $\bar u^{1/\alpha} = 20^2 = 400$ 을 주면 되므로 $\Pi_0 = 0.2 \times 2000 - 400 = 0$ 이다.
$\Pi_1 = 655.56 > 0 = \Pi_0$ 이므로 본인은 높은 노력을 유인한다. 노력의 기대산출 증가분 $(0.8-0.2) \times 2000 = 1200$ 이 유인 비용 증가분 $944.44 - 400 = 544.44$ 를 넉넉히 웃돌기 때문이다.

$\alpha = 1/2$ 일 때 본인이 높은 노력을 유인하는 것과 낮은 노력에 안주하는 것 사이에서 무차별해지는 임계 노력비용 $c^*$ 를 구하라.

$c = 18$ 과 $c = 19$ 에서의 부호를 이용해 $c^*$ 가 그 사이에 있음을 보여라.

\Pi_1(c) - \Pi_0 = 1200 - \left(C_1(c) - 400\right), \qquad c^* \approx 18.13

c = 18

\alpha = 1/2

— 교차점 바로 왼쪽, 아직 "높은 노력 유인" 영역이다.

증명 보기

$\Pi_1(c) - \Pi_0 = 1200 - (C_1(c) - 400)$ 이다. $C_1(c)$ 는 $c$ 에 대해 엄격히 증가하므로(노력비용이 오르면 효용 격차 $u_H - u_L = c/0.6$ 이 벌어지고 위험프리미엄이 커진다), 차이는 엄격히 감소하고 교차점은 유일하다.
$c = 18$ 에서 $u_L = 14$ , $u_H = 44$ 이므로 $C_1 = 0.8 \times 44^2 + 0.2 \times 14^2 = 1588$ 이고 $\Pi_1 - \Pi_0 = 1600 - 1588 = 12 > 0$ 이다.
$c = 19$ 에서 $u_L = 13.667$ , $u_H = 45.333$ 이므로 $C_1 \approx 1681.44$ 이고 $\Pi_1 - \Pi_0 = 1600 - 1681.44 = -81.44 < 0$ 이다. 부호가 바뀌므로 $c^* \in (18, 19)$ 이며, 수치해는 $c^* \approx 18.13$ 이다.

예제