도덕적 해이와 유인

이 씬은 노력을 볼 수 없을 때의 계약을 다룬다. 정해진 월급만 주면 열심히 일할 이유가 없다.

보수는 결과에 달아야 한다. 일이 잘됐을 때 더 얹어주는 성과급이 필요하다. 계약은 두 조건을 함께 만족해야 한다. 열심히 일하는 편이 더 이익이어야 한다. 그리고 이 일을 맡을 만한 보장은 있어야 한다. 위험을 덜 싫어할수록 성과급은 완만해진다. 위험 나누기와 유인 사이의 줄다리기다.

예를 들면, 당신은 🏪 분식집 사장님이다. 알바생이 일하는 모습은 볼 수 없다. 월급을 고정하면 알바생은 느긋해진다. 대신 그날 번 💰 돈이 많으면 보너스를 준다. 그러면 알바생은 알아서 열심히 일한다.

(p1−p0)(uH−uL)=c(IC)(p_1 - p_0)(u_H - u_L) = c \qquad \text{(IC)}
p1uH+(1−p1)uL=uˉ+c(IR)p_1 u_H + (1 - p_1) u_L = \bar u + c \qquad \text{(IR)}
wL=uL1/α,wH=uH1/αw_L = u_L^{1/\alpha}, \quad w_H = u_H^{1/\alpha}

이 씬이 포함된 학습 경로

예제

p1=0.8p_1 = 0.8, p0=0.2p_0 = 0.2, uˉ=20\bar u = 20, u(w)=w1/2u(w) = w^{1/2}, c=10c = 10이라 하자.

높은 노력을 유인하는 최적 계약 (wL,wH)(w_L, w_H)를 구하고, 기대임금 C1C_1, 완전보험 비용, 위험프리미엄을 계산하라.

uL=uˉ−cp0p1−p0=16.667,uH=uˉ+c(1−p0)p1−p0=33.333u_L = \bar u - \frac{c p_0}{p_1 - p_0} = 16.667, \qquad u_H = \bar u + \frac{c(1-p_0)}{p_1-p_0} = 33.333
wL=uL2=277.78,wH=uH2=1111.11w_L = u_L^2 = 277.78, \qquad w_H = u_H^2 = 1111.11
α=1/2\alpha = 1/2, c=10c = 10 — IR 곡선과 IC 곡선의 교점이 최적 계약이다.
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  1. IC와 IR이 모두 구속되므로 (0.8−0.2)(uH−uL)=10(0.8 - 0.2)(u_H - u_L) = 10에서 uH−uL=50/3u_H - u_L = 50/3, 그리고 0.8uH+0.2uL=300.8 u_H + 0.2 u_L = 30이다. 풀면 uL=50/3≈16.667u_L = 50/3 \approx 16.667, uH=100/3≈33.333u_H = 100/3 \approx 33.333이다.

  2. u(w)=w1/2u(w) = w^{1/2}이므로 임금은 wL=(50/3)2≈277.78w_L = (50/3)^2 \approx 277.78, wH=(100/3)2≈1111.11w_H = (100/3)^2 \approx 1111.11이다. 기대임금은 C1=0.8×1111.11+0.2×277.78≈944.44C_1 = 0.8 \times 1111.11 + 0.2 \times 277.78 \approx 944.44이다.

  3. 노력이 관찰 가능했다면 완전보험 w=30w = 30으로 충분했으므로 비용은 302=90030^2 = 900이다. 위험프리미엄은 944.44−900=44.44944.44 - 900 = 44.44 — 노력을 볼 수 없어 성과급으로 위험을 얹어야 하는 대가이다.

    C1−(uˉ+c)2=944.44−900=44.44C_1 - (\bar u + c)^2 = 944.44 - 900 = 44.44

  4. IC가 정말 구속되는지 확인한다: 태업 시 대리인의 보수는 0.2×33.333+0.8×16.667=20=uˉ0.2 \times 33.333 + 0.8 \times 16.667 = 20 = \bar u이고, 성실 시 기대효용도 0.8×33.333+0.2×16.667−10=200.8 \times 33.333 + 0.2 \times 16.667 - 10 = 20이다. IC slack =0= 0 — 대리인은 태업과 성실 사이에서 정확히 무차별하다.

같은 모수에서 α=1\alpha = 1 (위험중립 대리인)이라 하자.

최적 계약을 구하고 위험프리미엄이 0이 됨을 보여라.

유인양립성은 여전히 임금 격차를 요구하는데, 왜 비용은 완전보험과 같아지는가?

wL=uL=16.667,wH=uH=33.333w_L = u_L = 16.667, \qquad w_H = u_H = 33.333
C1=0.8×33.333+0.2×16.667=30=uˉ+cC_1 = 0.8 \times 33.333 + 0.2 \times 16.667 = 30 = \bar u + c
α=1\alpha = 1, c=10c = 10 — 계약점이 완전보험 등비용선 위에 정확히 놓인다.
증명 보기

  1. 효용 격차 (uL,uH)=(16.667,33.333)(u_L, u_H) = (16.667, 33.333)는 α\alpha와 무관하게 IC·IR에서 정해진다. α=1\alpha = 1이면 u(w)=wu(w) = w이므로 임금이 곧 효용이다: wL=16.667w_L = 16.667, wH=33.333w_H = 33.333.

  2. 기대임금은 C1=0.8×33.333+0.2×16.667=30C_1 = 0.8 \times 33.333 + 0.2 \times 16.667 = 30이다. 완전보험 비용 (uˉ+c)1=30(\bar u + c)^1 = 30과 같으므로 위험프리미엄은 0이다.

  3. 이유: 위험중립 대리인은 임금 변동에 따른 효용 손실이 없다. IC가 요구하는 효용 격차를 임금 격차로 옮기는 데 비용이 들지 않으므로, 본인은 완전보험과 같은 기댓값으로 유인을 살 수 있다 — 성과급 기울기는 가파르지만 위험분담 비용은 0이다.

20. 본인-대리인 문제